Gesamtweg bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Aus der Höhe h fällt ein Ball zu Boden. Der Ball hüpft zurück erreicht jedoch nur 3/4 der Höhe h. Der Vorgang wiederholt sich. Welchen Gesamtweg legt der Ball zurück, wenn man ihn hüpfen lässt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
ich gehe davon aus, dass es sich hierbei um eine geometrische folge handelt, mit dem Quotienten q=3/4.
Mein Ansatz lautet: h + [mm] 2*((3/4)h)^1 [/mm] + [mm] 2*((3/4)h)^2 [/mm] + [mm] 2*((3/4)h)^3..
[/mm]
Meine Frage ist nun wie ich weiterrechne an dieser Stelle?
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aus der Höhe h fällt ein Ball zu Boden. Der Ball hüpft
> zurück erreicht jedoch nur 3/4 der Höhe h. Der Vorgang
> wiederholt sich. Welchen Gesamtweg legt der Ball zurück,
> wenn man ihn hüpfen lässt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Leute,
>
> ich gehe davon aus, dass es sich hierbei um eine
> geometrische folge handelt, mit dem Quotienten q=3/4.
>
> Mein Ansatz lautet: h + [mm]2*((3/4)h)^1[/mm] + [mm]2*((3/4)h)^2[/mm] +
> [mm]2*((3/4)h)^3..[/mm]
> Meine Frage ist nun wie ich weiterrechne an dieser
> Stelle?
Das mit der geometrischen Folge hast du klar erkannt. Für die Summe einer solchen geometrischen Folge, besser bekannt als ![[]](/images/popup.gif) Geometrische Reihe, gibt es eine allseits bekannte Formel.
Das einzige, was du hier noch machen musst, ist die Tatsache zu berücksichtigen, dass der Summand [mm] 2h^0 [/mm] fehlt und der erste Summand den Vorfaktor 2 nicht auweist. Beides lässt sich jedoch leicht 'reparieren'. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo Diophant,
danke erstmals für deine schnelle Antwort.
Wenn ich [mm] 2h^0 [/mm] als Summanden hinzufüge, würde das dann so aussehen:
[mm] 2h^0 +2*((3/4)h)^1 [/mm] + [mm] 2*((3/4)h)^2 [/mm] +
[mm] 2*((3/4)h)^3
[/mm]
Und als geometrische Reihe würde ich diese Folge, dann wie folgt darstellen:
[mm] \summe_{n=0}^{oo} [/mm] 2/1 * [mm] ((1-3/4)^1)/(1-3/4)
[/mm]
Ist das so ungefähr richtig? Bin um ehrlich zu sein gerade etwas verzweifelt
|
|
|
| |
|
Hallo mathe1234,
> Hallo Diophant,
>
> danke erstmals für deine schnelle Antwort.
>
> Wenn ich [mm]2h^0[/mm] als Summanden hinzufüge, würde das dann so
> aussehen:
>
> [mm]2h^0 +2*((3/4)h)^1[/mm] + [mm]2*((3/4)h)^2[/mm] +
> [mm]2*((3/4)h)^3[/mm]
>
> Und als geometrische Reihe würde ich diese Folge, dann wie
> folgt darstellen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{oo}[/mm] 2/1 * [mm]((1-3/4)^1)/(1-3/4)[/mm]
>
Die geometrische Rehe lautet:
[mm]2h*\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^{n}[/mm]
Deren Summe errechnet sich zu: [mm]2h*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}[/mm]
> Ist das so ungefähr richtig? Bin um ehrlich zu sein gerade
> etwas verzweifelt
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo mathepower,
danke erstmal für deine Antwort.
Mit deiner Summenformel komme ich auf 8 Hüpfe insgesamt.
Wieso geht es denn nicht mit der Summenformel, die ich hatte?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Sa 18.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo mathepower,
>
> danke erstmal für deine Antwort.
> Mit deiner Summenformel komme ich auf 8 Hüpfe insgesamt.
> Wieso geht es denn nicht mit der Summenformel, die ich
> hatte?
Das Ergebnis lautet:
$ [mm] 2h\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^{n} [/mm] -h$
Denn die Anfangsstrecke h legt der Ball nur einmal zurück !
FRED
>
> Lg
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
İch versteh zwar, dass du die Anfangsstrecke abziehst, da der Ball dort nur einmal hüpft, aber mein Problem ist, dass ich nach der Formel nicht mehr weiß, wie ich weiter vorgehen muss.
Lg,
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo Fred,
> danke für deine Antwort.
>
> İch versteh zwar, dass du die Anfangsstrecke abziehst, da
> der Ball dort nur einmal hüpft, aber mein Problem ist,
> dass ich nach der Formel nicht mehr weiß, wie ich weiter
> vorgehen muss.
Die geometrische Reihe mit |q|<1 besitzt einen elementar zu berechnenden und fundamental wichtigen Grenzwert, den man an jeder Ecke und somit auch in deinen Unterlagen nachschlagen kann.
Es gilt für |q|<1
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^k= \frac{1}{1-q} [/mm]
Das war früher mal Schulwissen. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo Diophant,
dann heißt also die Lösung : 2h *(1/(1-3/4)) -h..?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:05 Sa 18.05.2013 | | Autor: | mathe1234 |
Also ich bin weiter so rangegangen und habe es mit der Summenformel versucht:
S = h + [mm] 2*(3/4)h^1 [/mm] + [mm] 2*(3/4)h^2 [/mm] + [mm] 2*(3/4)h^3 [/mm] |*3/4h
S*(3/4)h = 3/4 [mm] h^2 [/mm] + [mm] 2*(3/4)h^3 [/mm] + [mm] 2*(3/4)h^n+1
[/mm]
S -S*3/4 = h - [mm] 3/4h^2- 2*(3/4)h^n+1
[/mm]
S(1-3/4) = (h - [mm] 3/4h^2) [/mm] - [mm] (2*(3/4)h^n+1) [/mm] |:(1 - 3/4)
S= ((h - [mm] 3/4h^2) [/mm] - [mm] (2*(3/4)h^n+1))/(1 [/mm] - 3/4))
|
|
|
| |
|
Nein, doch nicht, also nun bin ich mir relativ sicher, dass es so sein müsste:
2* (1/(1-(3-4))) -h
nun ersetz ich das h durch 4/4
= 2 * (1/(1-(3-4))) - 4/4 = 7
İch hoffe, dass das nun so richtig ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 So 19.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe1234!
Das stimmt nicht. Du musst das schon für allgemeines $h_$ lösen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:25 So 19.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe1234!
Was machst Du hier? Mit der oben genannten Summenformel hat das wenig bis nichts zu tun.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:21 So 19.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe1234!
> dann heißt also die Lösung : 2h *(1/(1-3/4)) -h..?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Fasse nun zusammen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Lothar,
somit bekomme ich 8 -h raus. Meine Frage ist nun, ob ich das h nun noch umschreiben muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Lothar,
>
> somit bekomme ich 8 -h raus.
Hä ? Ich bekomme 8h-h=7h
> Meine Frage ist nun, ob ich
> das h nun noch umschreiben muss?
Was willst Du da umschreiben ??? h ist die ganz am Anfang gegebene Höhe.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort,
so macht das natürlich auch Sinn.
İch hatte vor das h umzuschreiben zu 4/4. Somit hätte ich dann 8 - 4/4 = 7 raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort,
>
> so macht das natürlich auch Sinn.
> İch hatte vor das h umzuschreiben zu 4/4.
Machst Du das auch so mit Deinem Kontostand ?
Stell Dir vor Du hast x € auf Deinem Konto mit x>100.
Dann schreiben wir x um in 4/4=1.
Jetzt hast Du nur noch 1 € auf dem Konto !
FRED
> Somit hätte
> ich dann 8 - 4/4 = 7 raus.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 So 19.05.2013 | | Autor: | mathe1234 |
Mh okay. Hab das jetzt denk ich verstanden.Danke
|
|
|
|
