Geschlossene Differntialform < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 18.03.2007 | | Autor: | Aias |
| Aufgabe | Stelen Sie fest, ob die differetialform w1 und w2 geschlossen sind und berechnen Sie gegebenfalls eine Stammfunktion :
w = [(2x^2y + xy^2y + 3xy - 1)/x]dx + [(x^2y + [mm] 2xy^2 [/mm] + 3xy+ 2)/y]dy
w = 2dx + 3dy + e^(x+1)y*[(1+xy)dx+x(1+x)dy]
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Kann bitte einer sagen, woran ich erkennen kann, ob eine Funktion geschlossen ist ?
Habe nur gefunden, dass dw = 0 ist bzw sein soll ....
Die Funktion
w = (-ydx + [mm] xdy)/(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] )
soll zum Beispiel geschlossen sein! Ist das Vorgehen dann, einfach Null setzen und dann integriere, aber mit welchen Grenzen ?
(Wenn man von Null bis x bzw y integriet, bekomm man xy = xy raus.. es muss aber nen einfacheren Weg geben, da ich keine Ahnung habe, wie ich
w = 2dx + 3dy + e^(x+1)y*[(1+xy)dx+x(1+x)dy]
dann lösen kann ohne ne halbe Stunde zu brauchen ? )
Kann mir jmd helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Für eine stetig differenzierbare Funktion [mm]f = f(x,y,z,\ldots)[/mm], also eine Differentialform vom Grad 0, ist das Differential erklärt durch
[mm]\mathrm{d}f = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \, \mathrm{d}x + \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \, \mathrm{d}y + \frac{\partial{f}}{\partial{z}} \, \mathrm{d}z + \ldots[/mm]
Und für eine Differentialform
[mm]\omega = u \, \mathrm{d}x + v \, \mathrm{d}y + w \, \mathrm{d}z + \ldots[/mm]
vom Grad 1 (wobei [mm]u = u(x,y,z,\ldots), \, v = v(x,y,z,\ldots) , \, w = w(x,y,z,\ldots), \, \ldots[/mm] stetig differenzierbare Funktionen sind) gilt
[mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d}u \wedge \mathrm{d}x + \mathrm{d}v \wedge \mathrm{d}y + \mathrm{d}w \wedge \mathrm{d}z + \ldots[/mm]
Für [mm]\mathrm{d}u[/mm] usw. mußt du die Definition für [mm]\mathrm{d}f[/mm] von oben verwenden. Das Dachprodukt ist assoziativ. Du darfst mit ihm distributiv bezüglich der Addition rechnen. Ferner ist es verträglich mit der Multiplikation von Funktionen (die hier wie Skalare in einem Vektorraum zu behandeln sind). Nur bei einer Sache mußt du aufpassen: Das Dachprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ. Bei jeder Vertauschung muß man das Vorzeichen ändern, z.B.
[mm]\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x = - \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y[/mm]
Das heißt z.B. insbesondere
[mm]\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x = - \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x \ \ \Rightarrow \ \ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x = 0[/mm]
Wenn du die obige Definition von [mm]\mathrm{d} \omega[/mm] für den Spezialfall von zwei Variablen
[mm]\omega = u \, \mathrm{d}x + v \, \mathrm{d}y[/mm]
anwendest, erhältst du mit diesen Regeln von ganz alleine
[mm]\mathrm{d} \omega = \left( - \frac{\partial{u}}{\partial{y}} + \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \right) \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y[/mm]
Probiere das aus!
Wenn du also überprüfen willst, ob eine solche Differentialform geschlossen ist, ob also [mm]\mathrm{d} \omega = 0[/mm] gilt, mußt du eigentlich nur den Ausdruck
[mm]- \frac{\partial{u}}{\partial{y}} + \frac{\partial{v}}{\partial{x}}[/mm]
berechnen. Ist der Null, so ist die Differentialform geschlossen, andernfalls nicht.
Nehmen wir dein Beispiel:
[mm]\omega = \frac{-y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y}{x^2 + y^2} = \frac{-y}{x^2 + y^2} \, \mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2} \, \mathrm{d}y[/mm]
Hier ist also
[mm]u = u(x,y) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \, , \ \ v = v(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}[/mm]
Man berechnet
[mm]\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{v}}{\partial{x}} = \frac{-x^2 + y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}[/mm]
Es folgt sofort:
[mm]\mathrm{d} \omega = 0[/mm]
Kenner der komplexen Funktionentheorie erkennen in dieser Differentialform übrigens den Imaginärteil der komplexen Differentialform [mm]\frac{\mathrm{d}z}{z}[/mm] wieder.
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