Gesucht F mit exp(F)=f < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 07.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
| Aufgabe | | Sei G [mm] \subset \IC [/mm] ein einfach-zusammenhängendes Gebiet und sei f:G -> [mm] \IC [/mm] holomorph ohne Nullstelle. Konstruieren sie eine holomorph Funktion F mit exp(F)=f |
Mein Ansatz ist:
Da f holomorph ist, ist auch f' holomorph und aufgrund der Nullstellenfreiheit von f auch f'/f. Zu f'/f gibt es also eine holomorph Stammfunktion, die wahrscheinlich, das gesuchte F ist, da (log(f))'=f'/f.
Mein Problem ist jetzt, wie zeige ich dass das wirklich das gesuchte F ist, wenn die Funktionswerte von f nicht auf der negativen reellen Achse liegen ist es mir klar, da es dann ja den Logarithmus gibt, aber das kann ich im allgemeinen ja nicht annehmen.
Wäre für Hinweise dankbar
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
> Sei G [mm]\subset \IC[/mm] ein einfach-zusammenhängendes Gebiet und
> sei f:G -> [mm]\IC[/mm] holomorph ohne Nullstelle. Konstruieren sie
> eine holomorph Funktion F mit exp(F)=f
> Mein Ansatz ist:
>
> Da f holomorph ist, ist auch f' holomorph und aufgrund der
> Nullstellenfreiheit von f auch f'/f. Zu f'/f gibt es also
> eine holomorph Stammfunktion, die wahrscheinlich, das
> gesuchte F ist, da (log(f))'=f'/f.
Es ist das gesuchte $F$ bis auf eine eventuelle Verschiebung (Stammfunktionen sind ja nur bis auf Addition einer Konstanten eindeutig).
> Mein Problem ist jetzt, wie zeige ich dass das wirklich das
> gesuchte F ist, wenn die Funktionswerte von f nicht auf der
> negativen reellen Achse liegen ist es mir klar, da es dann
> ja den Logarithmus gibt, aber das kann ich im allgemeinen
> ja nicht annehmen.
Den komplexen Logarithmus kannst du problemlos auf jedem einfach zusammenhaengenden Gebiet $G$ erklaeren mit $0 [mm] \not\in [/mm] G$. Das $G$ die negative reelle Achse nicht enthaelt ist nicht zwingend erforderlich.
Zurueck zur Aufgabe: Du hast also deine Funktion $F$ konstruiert. Jetzt willst du zeigen, dass [mm] $\exp(F) \cdot \exp(c) [/mm] = [mm] \exp(F [/mm] + c) = f$ ist fuer ein passendes $c [mm] \in \IC$. [/mm] Dazu betrachte [mm] $\frac{\exp(F)}{f}$; [/mm] zeige, dass diese Funktion konstant und [mm] $\neq [/mm] 0$ ist. Sie ist dann konstant gleich [mm] $\exp(-c)$ [/mm] fuer ein $c [mm] \in \IC$, [/mm] womit [mm] $\exp(F [/mm] + c) = f$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 07.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Vielen Dank Felix für die schnelle und sehr gute Antwort.
Bin wirklich positiv beeindruck vom Mathraum, dass ich hier so schnelle die geuschte Antwort bekommen habe.
Frank
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