Gewicht zusammenstellen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Fr 09.01.2009 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | Welche Gewichte kann man mit einem Gewichtssatz herstellen, der aus je einem 1 gr-, 2 gr-, 4 gr-, 8 gr-, 16 gr-, 32 gr-, 64 gr-, 128 gr-Stück
besteht? Und: wie viele Gewichte kann man damit herstellen ? |
Hi also diese Aufgabe.
Ich hab das mit stochastischen Mitteln gelöst, also die Mächtigkeit der Potenzmenge, also | [mm] \mathcal{P} [/mm] | = [mm] 2^{n} [/mm] also hier [mm] 2^{8} [/mm] = 256 Gewichte, hier muss man aber die leere Menge also [mm] {\emptyset} [/mm] abziehen, also 255 am Ende.
Man kann auch sagen am Anfang hat man 1 Gewicht aus 8, dann 2 Gewichte aus 8... also
[mm] \vektor{8 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{8 \\ 2} [/mm] + .... + [mm] \vektor{8 \\ 8} [/mm] = 255
Wie zeigt man das aber arithmetisch bzw. zahlentheoretisch?
Kann man auch sagen, dass die Gewichte so zusammengestellt werden können, sodass gilt
x [mm] \equiv [/mm] x mod [mm] 2^{8} [/mm] also x [mm] \equiv [/mm] x mod 256 ?
LG KNUT
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Hallo Knut,
die stochastische Lösung geht nur aufgrund der speziellen Verteilung der Gewichte. Im besonderen gilt für [mm] n\ge2: a_n>\summe_{i=1}^{n-1}a_i
[/mm]
Wenn die Gewichte z.B. 1,3,4,7,13,28,63,119 wären, wäre die Lage doch schon erheblich unübersichtlicher, außerdem gibt es dann so Unschönheiten wie 1+3=4, 3+4=7, 1+13=3+4+7,
1+3+4+7+13=28, 1+3+4+7+13+28+63=119 etc.
Manche Gewichte ließen sich dann also auf zwei (oder mehr?) Weisen darstellen, andere gar nicht, z.B. 57 bis 62.
Zahlentheoretisch bist Du hier übrigens ganz schnell fertig, wenn Du die Gewichte im Binärsystem darstellst. Dann sind alle Zahlen von [mm] 1_2 [/mm] bis [mm] 11111111_2 [/mm] darstellbar, also genau [mm] 2^8-1=255.
[/mm]
Aber das hattest Du ja längst raus.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 09.01.2009 | | Autor: | svcds |
meinst du ich kann das dann so stehen lassen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Fr 09.01.2009 | | Autor: | reverend |
Was wie stehenlassen?
Dein erster Post enthält die richtigen Gedanken, aber noch keinen Nachweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 10.01.2009 | | Autor: | svcds |
da steht ja auch in der Aufgabenstellung nicht "Beweisen" oder "Zeigen Sie", also wenn ich das mit arithmetikmitteln mache, muss ich das mit dem Binärsystem machen? Und wenn ich das dann habe, wie schreib ich das genau auf?
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Stimmt, so formal liest sich die Aufgabenstellung gar nicht.
Dann genügt es wahrscheinlich, zu sagen, dass die Binärdarstellung der Gewichte folgende ist:
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
und sich daher alle Zahlen von 1 bis 11111111 darstellen lassen, dezimal: 1 bis [mm] 2^8-1=255.
[/mm]
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