Gewichte der Gauss-Quadratur < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 02.07.2010 | | Autor: | farnold |
Hallo!
Ich sitze hier gerade vor der Gaussquadratur.
Für [mm] \integral_{1}^{-1}{f(x)*w(x) dx} [/mm] wobei w(x)=1 soll eine Gaussquadratur bestimmt werden der Form [mm] \integral_{1}^{-1}{f(\lambda_{i})*w_{i} dx} [/mm] wobei [mm] \lambda_{i} [/mm] die Nullstellen des Legendrepolynoms sind.
[mm] w_{i} [/mm] sind die Gewichte.
Nun aber zur eigentlichen Frage.
Welche der beiden Gewichten ist nun korrekt:
(In meinem Skript kommen beide Versionen vor)
[mm] w_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{j=0,i\not=j}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}
[/mm]
oder
[mm] w_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{j=0,i\not=j}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}^{2}
[/mm]
im Internet fand ich immer die 1. Variante, aber was hat es mit der 2. auf sich, oder handelt es sich hierbei um einen Fehler im Skript?
Desweiteren frage ich mich wie ich die Ordnung einer interpolatorischen Quadratur bestimme (z.B Cotes-Formel).
Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
Ich bestimme das Restglied R := I(f)-Q(f)
Das Restglied hat die Form [mm] \integral_{a}^{b}{f^{n+1}(c_{x}) ... dx} [/mm] (also die Integration des Fehlers der Lagrange-Interpolation)
nach einigen Umformungen schaffe ich es das Restglied in folgende Form zu bekommen:
[mm] R=f^{m}(c_{x})*\integral_{a}^{b}{... dx}
[/mm]
kann ich jetzt sagen, die Quadratur hat die (maximale) Ordnung m, da für Polynome vom Grad < m die m. Ableitung 0 ist und somit der Fehler 0 wird. Oder ist das absoluter quatsch?
grüße fa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:13 Sa 03.07.2010 | | Autor: | max3000 |
> Hallo!
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> Ich sitze hier gerade vor der Gaussquadratur.
> Für [mm]\integral_{1}^{-1}{f(x)*w(x) dx}[/mm] wobei w(x)=1 soll
> eine Gaussquadratur bestimmt werden der Form
> [mm]\integral_{1}^{-1}{f(\lambda_{i})*w_{i} dx}[/mm] wobei
> [mm]\lambda_{i}[/mm] die Nullstellen des Legendrepolynoms sind.
> [mm]w_{i}[/mm] sind die Gewichte.
>
> Nun aber zur eigentlichen Frage.
> Welche der beiden Gewichten ist nun korrekt:
> (In meinem Skript kommen beide Versionen vor)
> [mm]w_{i}[/mm] = [mm]\produkt_{j=0,i\not=j}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
>
> oder
> [mm]w_{i}[/mm] = [mm]\produkt_{j=0,i\not=j}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}^{2}[/mm]
>
> im Internet fand ich immer die 1. Variante, aber was hat es
> mit der 2. auf sich, oder handelt es sich hierbei um einen
> Fehler im Skript?
Ich denke auch dass die erste richtig ist und die zweite mit Sicherheit ein Tippfehler. [mm] $Irgendwas^1-Irgendwas^2$ [/mm] passt irgendwie nicht zusammen. Stell dir vor die [mm] x_i [/mm] wären eine physikalische Größe mit einer Einheit z.B. Meter. Die sollten sich ja irgendwie wegkürzen. Wäre jetzt meine intuitive Erklärung.
> Desweiteren frage ich mich wie ich die Ordnung einer
> interpolatorischen Quadratur bestimme (z.B Cotes-Formel).
> Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Ich bestimme das Restglied R := I(f)-Q(f)
>
> Das Restglied hat die Form [mm]\integral_{a}^{b}{f^{n+1}(c_{x}) ... dx}[/mm]
> (also die Integration des Fehlers der
> Lagrange-Interpolation)
>
> nach einigen Umformungen schaffe ich es das Restglied in
> folgende Form zu bekommen:
> [mm]R=f^{m}(c_{x})*\integral_{a}^{b}{... dx}[/mm]
>
> kann ich jetzt sagen, die Quadratur hat die (maximale)
> Ordnung m, da für Polynome vom Grad < m die m. Ableitung 0
> ist und somit der Fehler 0 wird. Oder ist das absoluter
> quatsch?
>
> grüße fa
Also die Newton-Cotes Formeln gehen ja daraus hervor, dass sie Polynome eines gewissen Grades genau integrieren. Nach Restglied bei Taylorformel kannst du außerdem deine zu integrierende Funktion f darstellen als:
[mm] f(x)=p_n(x)+\bruch{1}{(n+1)!}max_{\xi\in(a,b)}|f^{(N+1)}(\xi)\produkt_{j=0}^N(x-x_j)|
[/mm]
und damit gilt:
[mm] |I(f)-Q_n(f)|\le\bruch{1}{(n+1)!}\|f^{(n+1)}\|_{C(a,b)}\int_a^b|\produkt_{j=0}^N(x-x_j)|dx
[/mm]
, wobei I der echte Integraloperator ist und [mm] Q_n [/mm] die Quadraturformel zum höchstgrad n.
Also was du zur Bestimmung der Ordnung machen musst ist, alle Polynome prüfen, ob diese exakt integriert werden.
z.b. für Ordnung 1: [mm] f(x)=a_0+a_1*x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int_a^b(a_0+a_1*x)dx=a_0(b-a)+1/2*a_1*(b-a)^2
[/mm]
Wenn deine Quadraturformel genau das selbe ergibt, dann ist sie mindestens von Ordnung 1. Das machst du so lange, bis es nicht mehr passt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:12 Sa 03.07.2010 | | Autor: | farnold |
vielen dank für die schnelle antwort =)
Um die Ordnung einer Quadraturformel zu bestimmen muss ich also gar nicht das Restglied ausrechnen.
wenn ich zeigen möchte das z.B. die Trapezregel von der Ordnung 2 ist müsste ich zeigen, dass bei I(f) und Q(f) beide mal dasselbe für [mm] f(x)=a_{0}+a{_1}x+a_{2}x² [/mm] herauskommt.
Dann ist das ja einfacher als ich dachte :)
Könnte ich die Ordnung 2 auch wiefolgt nachweisen:
I(f)=Q(f) für [mm] f(x)=a_{0}
[/mm]
I(f)=Q(f) für [mm] f(x)=a_{1}x
[/mm]
I(f)=Q(f) für [mm] f(x)=a_{2}x²
[/mm]
?
Ich sehe gerade, dass ich selbst bei [mm] w_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{j=0,i\not=j}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}^{2} [/mm] selbst einen Tippfehler gemacht habe^^
das Quadrat bezieht sich nicht nur auf das [mm] x_{j}, [/mm] sondern auf [mm] ((x-x_{j})/(x_{i}-x_{j}))^{2}, [/mm] falls das mehr sinn ergibt?
Aber mit der ersten Variante ohne das Quadrat fahr ich auf jedenfall auf der sicheren Seite, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Sa 03.07.2010 | | Autor: | max3000 |
> vielen dank für die schnelle antwort =)
>
> Um die Ordnung einer Quadraturformel zu bestimmen muss ich
> also gar nicht das Restglied ausrechnen.
>
> wenn ich zeigen möchte das z.B. die Trapezregel von der
> Ordnung 2 ist müsste ich zeigen, dass bei I(f) und Q(f)
> beide mal dasselbe für [mm]f(x)=a_{0}+a{_1}x+a_{2}x²[/mm]
> herauskommt.
Wie gesagt, so geht das für die Newton-Cotes formeln und alle Quadraturen, die durch Polynominterpolation hergelitten worden. Sicherlich gibt es auch Quadraturformeln für die das nicht geht, aber ich kenne auch nur die üblichen mit Polynomen.
> Dann ist das ja einfacher als ich dachte :)
>
> Könnte ich die Ordnung 2 auch wiefolgt nachweisen:
> I(f)=Q(f) für [mm]f(x)=a_{0}[/mm]
> I(f)=Q(f) für [mm]f(x)=a_{1}x[/mm]
> I(f)=Q(f) für [mm]f(x)=a_{2}x²[/mm]
> ?
Du meinst sicherlich I(f)=Q(f) für [mm] (x)=a_{2}x^2
[/mm]
Das sollte gehen, da I und Q linear sind.
> Ich sehe gerade, dass ich selbst bei [mm]w_{i}[/mm] =
> [mm]\produkt_{j=0,i\not=j}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}^{2}[/mm]
> selbst einen Tippfehler gemacht habe^^
> das Quadrat bezieht sich nicht nur auf das [mm]x_{j},[/mm] sondern
> auf [mm]((x-x_{j})/(x_{i}-x_{j}))^{2},[/mm] falls das mehr sinn
> ergibt?
> Aber mit der ersten Variante ohne das Quadrat fahr ich auf
> jedenfall auf der sicheren Seite, oder?
Wenn es so in der Literatur zu finden ist, dann wird das schon richtig sein :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 03.07.2010 | | Autor: | farnold |
danke, ich glaube das hab ich jetzt soweit ganz gut verstanden!
was mir jetzt noch ein wenig kopfzerbrechen bereitet sind die summierten Quadraturformeln.
Vom Prinzip her ist klar was damit gemeint ist. Ich wende eine Quadraturformel(z.B Trapezregel) nur auf Teilintervalle h=(b-a)/N eines gegebenen Intervalls [a,b] an und summiere diese am Ende.
Die Ordnung gibt an bis zu welchem Grad die Polynome exakt integriert werden.
Die Ordnung (wie oben definiert) der Trapez/Simpsonregel/usw. entspricht doch dann der Ordnung der summierten Trapez/Simpson/usw.-Regel?
Weil z.Bsp. bei [mm] I(f)-I^_{1}_{h}(f)=-(1/12)*h²(f'(b)-f'(a))+...
[/mm]
sagen wir die Quadraturformel sei von der Ordnung O(h²)
was hat h damit zu tun bis zu welchem Grad die Polynome exakt integriert werden?? Oder wird Ordnung hier in einem anderen Kontext verwendet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 04.07.2010 | | Autor: | max3000 |
Das h sind ja hier die Länge der Teilintervalle über die du integrierst.
Wenn du diese kleiner machst, erzielst du ja auch bessere Ergebnisse.
So kannst du ja auch schon mit der Mittelpunktsregel sehr gute Ergebnisse bei kleinem h erzielen.
Also ist h nicht die Ordnung wie wir sie oben definiert haben. Hier ist [mm] \alpha [/mm] aus [mm] O(h^\alpha) [/mm] wirklich die Ordnung der Approximation.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:53 So 04.07.2010 | | Autor: | farnold |
nochmal dumm gefragt:
d.h. die Ordnung im Sinne von "bis zum Polynom so und so wird exakt integriert" ist bei der "normalen" cotes quadratur und der summierten cotes quadratur identisch?
"Hier ist $ [mm] \alpha [/mm] $ aus $ [mm] O(h^\alpha) [/mm] $ wirklich die Ordnung der Approximation. "
was versteht man unter "Ordnung der Approximation"?
Etwa wie schnell sich die funktion mit der quadraturformel an I(f) annähert?
im Skript ist die ordnung der cotes formel um eins größer als die dazugehörige summierte cotesformel, heißt das man sucht quadraturen mit geringem [mm] \alpha? [/mm] (wobei [mm] O(h^_{\alpha}) [/mm] für kleine h schneller gegen 0 geht falls [mm] \alpha [/mm] groß ist)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Di 06.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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