www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenGewichtete Supremumsnorm
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Gewichtete Supremumsnorm
Gewichtete Supremumsnorm < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gewichtete Supremumsnorm: Warum Banachraum
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 01:29 Di 08.05.2012
Autor: no_brain_no_pain

Es geht um den Raum [mm] $B:=\{u \in \mathcal{C}([0,1]) \;| \; \parallel u\parallel:=sup_{0
Dabei ist mir klar, dass so eine gewichtete Norm äquivalent zur Supremumsnorm ist, wenn die Gewichtsfunktion positiv und beschränkt ist und deshalb der Raum der stetigen funktionen mit der gewichteten Norm wieder vollständig ist und dadurch auch ein Banachraum ist.

Nun habe ich aber hier das Problem, dass die Gewichtsfunktion $p(x):= [mm] \frac{1}{sin(\pi x)} [/mm] $ ja gar nicht beschränkt ist.

Weiß jemand ein Argument, warum $B$ trotzdem ein Banachraum ist?

        
Bezug
Gewichtete Supremumsnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:05 Di 08.05.2012
Autor: fred97


> Es geht um den Raum [mm]B:=\{u \in \mathcal{C}([0,1]) \;| \; \parallel u\parallel:=sup_{0
>  
> Dabei ist mir klar, dass so eine gewichtete Norm
> äquivalent zur Supremumsnorm ist, wenn die
> Gewichtsfunktion positiv und beschränkt ist und deshalb
> der Raum der stetigen funktionen mit der gewichteten Norm
> wieder vollständig ist und dadurch auch ein Banachraum
> ist.
>
> Nun habe ich aber hier das Problem, dass die
> Gewichtsfunktion [mm]p(x):= \frac{1}{sin(\pi x)}[/mm] ja gar nicht
> beschränkt ist.
>  
> Weiß jemand ein Argument, warum [mm]B[/mm] trotzdem ein Banachraum
> ist?


1. Zu B gehören nur die auf [0,1] stetigen Funktionen u, für die [mm] sup_{0
2. Nimm Dir einen Cauchyfolge [mm] (u_n) [/mm] aus B her. Zu [mm] \varepsilon> [/mm] gibt es also ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:

               [mm] ||u_n-u_m||< \varepsilon [/mm] für n, m > N.

Zeige nun: für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] ist [mm] (u_n(x)) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] (oder [mm] \IC). [/mm] Damit ex.

              [mm] u(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}u_n(x) [/mm]  für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1].

Zeige weiter: u [mm] \in [/mm] B und [mm] (u_n) [/mm] konv. gegen u im Sinne der Norm auf B.


FRED

Bezug
                
Bezug
Gewichtete Supremumsnorm: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:15 Di 08.05.2012
Autor: no_brain_no_pain

Danke dir für die Antwort.
1.) hatte ich tatsächlich übersehen und nun ist mir zumindest schon mal klar, warum $B$ ein normierter Vektorraum ist.

Bei 2.) zweifle ich noch, ob das so einfach geht. Die punktweise Konvergenz in [mm] $\IR$ [/mm] scheint mir doch nur für Punkte [mm] $x_0 \in [/mm] (0,1)$ offensichtlich. Für die Randpunkte verstehe ich noch nicht, wie man da Konvergenz zeigen kann. Für die Konvergenz bzgl [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel$ [/mm] habe ich auch noch keine Idee.


Bezug
                        
Bezug
Gewichtete Supremumsnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Di 08.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke dir für die Antwort.
>  1.) hatte ich tatsächlich übersehen und nun ist mir
> zumindest schon mal klar, warum [mm]B[/mm] ein normierter Vektorraum
> ist.
>
> Bei 2.) zweifle ich noch, ob das so einfach geht.

wie sieht denn Deine Abschätzung für
[mm] $$|\;\;u_n(x)-u_m(x)\;\;|$$ [/mm]
aus (für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ beliebig, aber fest)?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Gewichtete Supremumsnorm: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:44 Di 08.05.2012
Autor: no_brain_no_pain

Genau da liegt das Problem.
Also wenn man die Cauchfolgeneigenschaft in $B$ in Betracht zieht:
Für [mm] $x_0 \in [/mm] (0,1)$ beliebig, aber fest,
wählt man [mm] $\epsilon \in \IR_{+}$ [/mm] beliebig, so gilt ja da [mm] $(u_{n})$ [/mm] Cauchyfolge in $B$ für alle $n,m [mm] \ge N(\epsilon):$ [/mm]
[mm] $$sup_{0 Also auch [mm] $\frac{|u_n(x_0)-u_m(x_0)|}{sin(\pi x_0)}< \epsilon$, [/mm] d.h.
[mm] $|u_n(x_0)-u_m(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] * [mm] sin(\pi x_0)$ [/mm]
Also wird [mm] $|u_n(x_0)-u_m(x_0)|$ [/mm] beliebig klein, [mm] $u_n(x_0)$ [/mm] ist damit eine Cauchyfolge in [mm] $\IR$(vollständig), [/mm] konvergiert also gegen einen Grenzwert, den man [mm] $u(x_0)$ [/mm] nennt.
Nun weiß ich aber nicht weiter wie ich das mit den Randpunkten [mm] $x_0=0$ [/mm] oder [mm] $x_0=1$ [/mm] machen soll, denn da wird ja [mm] $sin(\pi x_0)=0$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Gewichtete Supremumsnorm: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 10.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]