Gewichtsproblem < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Jemand hat 4 Gewichte, mit denen er die ganzen Pfunde seiner Waren von einem Pfund an bis 40 Pfund wiegen will. Wie groß ist das Gewicht jedes einzelnen Gewichtes. Die benutzte Waage ist eine Balkenwaage. |
Hallo,
diese hübsche Aufgabe habe ich in einem alten Buch gefunden. Die Lösung steht auch dabei, aber nicht der Lösungsweg. Man darf wohl annehmen, dass extra darauf hingewiesen wurde, dass es sich um eine Balkenwaage handelt, weil man bei ihr auf beiden Seiten die Gewichte auflegen kann - auch zusammen mit der zu wiegenden Ware.
Leider fehlt mir jegliche Vorstellung, wie man diesen Sachverhalt in Gleichungen pressen kann.
Oder geht das wirklich nur mit Probieren und logischem Denken?
Dankbar für Vorschläge,
Roland.
PS: Ich weiß, dass hier meine Vorarbeit etwas mager ist, aber 40 Gleichungen der Art
[mm] 1x_1+0x_2+0x_3+0x_4=1
[/mm]
[mm] 0x_1+1x_2+0x_3+0x_4=2
[/mm]
usw. aufzuschreiben macht keinen Sinn, denn so kommt nichts richtiges heraus - man bräuchte ja nur vier Gleichungen und jede zusätzliche würde eine andere Lösung bringen - außer man hat Glück. Die Frage ist also ob man allgemein aufschreiben kann, dass manchmal ein + und manchmal ein - zwischen den [mm] x_n [/mm] steht?
Ich hab wirklich keinen Plan...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 03.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Jemand hat 4 Gewichte, mit denen er die ganzen Pfunde
> seiner Waren von einem Pfund an bis 40 Pfund wiegen will.
> Wie groß ist das Gewicht jedes einzelnen Gewichtes. Die
> benutzte Waage ist eine Balkenwaage.
> Hallo,
>
> diese hübsche Aufgabe habe ich in einem alten Buch
> gefunden. Die Lösung steht auch dabei, aber nicht der
> Lösungsweg. Man darf wohl annehmen, dass extra darauf
> hingewiesen wurde, dass es sich um eine Balkenwaage
> handelt, weil man bei ihr auf beiden Seiten die Gewichte
> auflegen kann - auch zusammen mit der zu wiegenden Ware.
> Leider fehlt mir jegliche Vorstellung, wie man diesen
> Sachverhalt in Gleichungen pressen kann.
> Oder geht das wirklich nur mit Probieren und logischem
> Denken?
> Dankbar für Vorschläge,
>
> Roland.
>
> PS: Ich weiß, dass hier meine Vorarbeit etwas mager ist,
> aber 40 Gleichungen der Art
> [mm]1x_1+0x_2+0x_3+0x_4=1[/mm]
> [mm]0x_1+1x_2+0x_3+0x_4=2[/mm]
> usw. aufzuschreiben macht keinen Sinn, denn so kommt
> nichts richtiges heraus - man bräuchte ja nur vier
> Gleichungen und jede zusätzliche würde eine andere
> Lösung bringen - außer man hat Glück. Die Frage ist also
> ob man allgemein aufschreiben kann, dass manchmal ein + und
> manchmal ein - zwischen den [mm]x_n[/mm] steht?
> Ich hab wirklich keinen Plan...
Hallo,
das hat auch nichts mit Gleichungen zu tun, sondern nur mit Logik.
Wenn man nur Addition zulässt, dann könnte man mit den Massen
1, 2, 4, 8 alle ganzzahligen Massen von 1 bis 15 bilden.
(die Masse m=7 wird z.B. durch 1+2+4 gebildet).
Da aber auch Subtraktin möglich ist (linke Schale 8, rechte Schale 1 und m, deshalb gilt m=8-1 ), hat man zwei verschiedene Lösungswege, wobei bereits einer genügen würde.
Deshalb vergrößert man die Abstände der Wägestücke und wählt sie nicht mehr als Zweier-, sondern als Dreierpotenzen (1, 3, 9, 27)
Es ist möglich: 1, 3-1, 3, 3+1, 9-3-1, 9-3, 9-3+1, 9-1, 9, ....
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Aber es sieht halt so etwas willkürlich aus. Auf diesem Weg denkt man sich erst eine Folge aus und überprüft sie dann. Gibt es auch eine Möglichkeit die "vorwärts" geht? Man stelle sich vor, man hat keine Ahnung von Zahlenfolgen usw. Dann scheint es doch wirklich nur durch Probieren lösbar zu sein, oder?
Mit anderen Worten: Warum sind es jetzt die Kuben der Zahlen - kann man beweisen, dass es solche Gewichte sein müssen? (Sind es nicht nur 4 Gewichte, sondern 10 gibt es ja viel mehr Möglichkeiten. Doch will man die ja nicht alle einzeln aufschreiben. Ich bin also an einem Beweis interessiert.)
Zusatzfrage: Gibt es denn dann auch eine besondere Eigenschaft der Biquadrate?
Mit freundlichen Gruß,
Roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mit anderen Worten: Warum sind es jetzt die Kuben der
> Zahlen - kann man beweisen, dass es solche Gewichte sein
> müssen? (Sind es nicht nur 4 Gewichte, sondern 10 gibt es
> ja viel mehr Möglichkeiten. Doch will man die ja nicht
> alle einzeln aufschreiben. Ich bin also an einem Beweis
> interessiert.)
Ich hoffe, folgender Ansatz ist nich zu abstrakt für die Schule (da ich mit einigen Variablen hantiere), aber in der Uni sollte man dies können:
Ich abstrahiere das Problem wie folgt: Ich habe Gewichte [m]a_i[/m] und möchte mit der Balkenwaage diese darstellen, dh also für jedes Gewicht g gibt es Gewichte mit [m]g+\sum_j a_j=\sum a_k[/m] (passende j, k vorrausgesetzt). Anders betrachtet; man möchte das man mit den Zahlen [m]\sum_k a_k - \sum_j a_j[/m] (wobei die k, j paarweise verschieden sind, aber es nicht alle sein müssen) die Zahlen [m]0,\ldots n[/m] darstellen. Puh, wie macht man das? Ich konstruiere dazu eine Folge [m]a_i[/m], so dass diese Folge jeweils Zahlen [m]0,\ldots n_{i'}[/m] darstellen und maximal mit der Eigenschaft sind.
Also fange ich an: die erste Zahl muss [m]a_1=1[/m] sein, denn ich will 0 und 1 darstellen und keine Lücken haben.
Ind.schritt: Ich habe die Zahlen [m]a_i,i\le j[/m] konstruiert, dabei sieht man, dass [m]\sum_i a_i=n_j[/m] ist (die Summe über alle [m]i\le j[/m] ist natürlich maximal). wie komme ich auf die nächste Zahl? Nun, die nächste Zahl [m]a_{j+1}[/m] mus größer als [m]n_j[/m] sein, aber ich kann ja jede Zahl von [m]0,\ldots, n_j[/m] auf die andren Seite der Waage legen, also kann ich dann alle Zahlen [m]a_{j+1} - k, 0\le k \le n_j[/m] darstellen. Damit die Zahl [m]n_{j+1}[/m] maximal ist, muss ich sie so groß wie möglich wählen, damit keine Lücken entstehen so klein wie möglich - also komme ich auf [m]a_j=2*n_j + 1 = 2*(\sum_i a_i) + 1[/m].
Also ist die Rekursionsgleichung: [m]a_j=2*(\sum_i a_i) + 1[/m]. Jetzt sieht man aber (wenn man die Rekursionsformel ein paar mal ausgerechnet hat nd einen Verdacht hat): [m]2*(\sum_{0\le i \le k} 3^i) + 1 = 2*(\bruch{3^{k+1}-1}{3-1})+1=3^{k+1}[/m]. Da beide Folgen mit 1 starten, sind sie gleich.
Beweis genug?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 03.02.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
wenn ich nur Addition verwende, kann ich bei jedem Massestück nur zwei Zustände einsetzen:
vorhanden (1) oder nicht vorhanden (0).
Wenn ich auch noch subtrahieren darf, kann ich 3 Zustände verwenden:
subtrahieren (-1)
nicht verwenden (0)
addieren (1)
Damit habe ich bei n verschiedenen Massestücken [mm] 3^n [/mm] Kombinationsmöglichkeiten ihrer Verwendung.
Gruß Abakus
|
|
|
|
