Gewinnentwicklung < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:23 Mo 31.01.2011 | | Autor: | dusty1993 |
| Aufgabe | Die Gewinnentwicklung beim Absatz eines neues Produktes wird durch die Funktion Ga(t) = [mm] 5e^{0,1t-0,01at^2}-3 [/mm] beschrieben. t gibt die Zeit in Monaten an und G denn Gewinn in GE (1 GE = 10000Euro). a ist der Parameter, der von der Mitarbeiterzahl abhängt.
a) Ermittlung Gewinnzone (a = 1)
b) Zeitpunkt des maximalen Gewinns in Abhängigkeit von a
c) Zeitpunkt des größten Gewinnrückgangs in Abhängigkeit von a
d) Verlust im 2. Jahr und die ökonomische Bedeutung dieser Entwicklung |
So also ich habe hier schon mal die Ableitungen:
Ga'(t) = 5(0,1 - 0,02at) e^(o,1t - [mm] 0,01at^2)
[/mm]
Ga''(t) = 5(0,01 - 0,02a - 0,00a at + [mm] 0,0004a^2t^2)e^{0,1t-0,01at^2}
[/mm]
die 3. brauchen wir nicht machen
bei a muss ich ja G(t) = 0 setzen und bekomme t1 = 13,72 und t2 = -3,72 raus (das müsste auch richtig sein)
bei b) muss ich Ga'(t) = 0 und nach Null auflösen:
5(0,1 0,02at) e^(0,1t - [mm] 0,01at^2) [/mm] = 0 dann ist
1. 5(0,1 0,02at) = 0
hier weiß ich aber nicht wie ich das mit dem a auflösen soll....
2. e^(0,1t - [mm] 0,01at^2) [/mm] = 0 (was ja nicht wahr ist, somit ist die Gleichung nicht lösbar)
bei c) muss ich ja den Wendepunkt berechnen, also Ga''(t) = 0
aber auch hier habe ich wieder das Problem mit dem a, da ich nicht weiß wie ich das auflösen kann...
und bei d) denke ich das ich einfach nur Ga(24)=... ausrechnen muss, je doch ist auch da wieder das a in der Gleichung....
Ich schaffe es also nicht, die Gleichung wegen dem a aufzulösen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Gewinnentwicklung beim Absatz eines neues Produktes
> wird durch die Funktion Ga(t) = [mm]5e^{0,1t-0,01at^2}-3[/mm]
> beschrieben. t gibt die Zeit in Monaten an und G denn
> Gewinn in GE (1 GE = 10000Euro). a ist der Parameter, der
> von der Mitarbeiterzahl abhängt.
>
> a) Ermittlung Gewinnzone (a = 1)
> b) Zeitpunkt des maximalen Gewinns in Abhängigkeit von a
> c) Zeitpunkt des größten Gewinnrückgangs in
> Abhängigkeit von a
> d) Verlust im 2. Jahr und die ökonomische Bedeutung
> dieser Entwicklung
>
> So also ich habe hier schon mal die Ableitungen:
>
> Ga'(t) = 5(0,1 - 0,02at) e^(o,1t - [mm]0,01at^2)[/mm]
> Ga''(t) = 5(0,01 - 0,02a - 0,004 at [mm] +0,0004a^2t^2)e^{0,1t-0,01at^2}
[/mm]
>
> die 3. brauchen wir nicht machen
>
> bei a muss ich ja G(t) = 0 setzen und bekomme t1 = 13,72
> und t2 = -3,72 raus (das müsste auch richtig sein)
>
> bei b) muss ich Ga'(t) = 0 und nach Null auflösen:
> 5(0,1 0,02at) e^(0,1t - [mm]0,01at^2)[/mm] = 0 dann ist
>
> 1. [mm] 5(0,1\red{-}0,02at) [/mm] = 0
> hier weiß ich aber nicht wie ich das mit dem a auflösen
> soll....
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Behandle a so, also stünde dort irgendeine Zahl.
Für a=0 gibt es keine Lösung.
In allen anderen Fällen:
[mm] 5(0,1\red-0,02at) [/mm] = 0
<==>
[mm] 0,1\red{-}0,02at [/mm] = 0
<==>
0.1=0,02at
<==>
[mm] \bruch{0.1}{0.02a}=t.
[/mm]
>
> 2. e^(0,1t - [mm]0,01at^2)[/mm] = 0 (was ja nicht wahr ist, somit
> ist die Gleichung nicht lösbar)
Ja.
>
> bei c) muss ich ja den Wendepunkt berechnen, also Ga''(t) =
> 0
>
> aber auch hier habe ich wieder das Problem mit dem a, da
> ich nicht weiß wie ich das auflösen kann...
Du willst sicher 0,01 - 0,02a - 0,004 at [mm] +0,0004a^2t^2=0 [/mm] lösen.
Betrachte die Gleichung so:
[mm] \red{0.0004a}*t^2- [/mm] 0.004a*t + (0.01-0.02a)=0
Gruß v. Angela
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Also > > Die Gewinnentwicklung beim Absatz eines neues Produktes
> > wird durch die Funktion Ga(t) = [mm]5e^{0,1t-0,01at^2}-3[/mm]
> > beschrieben. t gibt die Zeit in Monaten an und G denn
> > Gewinn in GE (1 GE = 10000Euro). a ist der Parameter, der
> > von der Mitarbeiterzahl abhängt.
> >
> > a) Ermittlung Gewinnzone (a = 1)
> > b) Zeitpunkt des maximalen Gewinns in Abhängigkeit von
> a
> > c) Zeitpunkt des größten Gewinnrückgangs in
> > Abhängigkeit von a
> > d) Verlust im 2. Jahr und die ökonomische Bedeutung
> > dieser Entwicklung
> >
> > So also ich habe hier schon mal die Ableitungen:
> >
> > Ga'(t) = 5(0,1 - 0,02at) e^(o,1t - [mm]0,01at^2)[/mm]
> > Ga''(t) = 5(0,01 - 0,02a - 0,004 at
> [mm]+0,0004a^2t^2)e^{0,1t-0,01at^2}[/mm]
>
> >
> > die 3. brauchen wir nicht machen
> >
> > bei a muss ich ja G(t) = 0 setzen und bekomme t1 = 13,72
> > und t2 = -3,72 raus (das müsste auch richtig sein)
> >
> > bei b) muss ich Ga'(t) = 0 und nach Null auflösen:
> > 5(0,1 0,02at) e^(0,1t - [mm]0,01at^2)[/mm] = 0 dann ist
> >
> > 1. [mm]5(0,1\red{-}0,02at)[/mm] = 0
> > hier weiß ich aber nicht wie ich das mit dem a auflösen
> > soll....
>
> Hallo,
>
> .
>
> Behandle a so, also stünde dort irgendeine Zahl.
> Für a=0 gibt es keine Lösung.
>
> In allen anderen Fällen:
>
> [mm]5(0,1\red-0,02at)[/mm] = 0
> <==>
> [mm]0,1\red{-}0,02at[/mm] = 0
> <==>
> 0.1=0,02at
> <==>
> [mm]\bruch{0.1}{0.02a}=t.[/mm]
>
> >
> > 2. e^(0,1t - [mm]0,01at^2)[/mm] = 0 (was ja nicht wahr ist, somit
> > ist die Gleichung nicht lösbar)
>
> Ja.
>
> >
> > bei c) muss ich ja den Wendepunkt berechnen, also Ga''(t) =
> > 0
> >
> > aber auch hier habe ich wieder das Problem mit dem a, da
> > ich nicht weiß wie ich das auflösen kann...
>
>
> Du willst sicher 0,01 - 0,02a - 0,004 at [mm]+0,0004a^2t^2=0[/mm]
> lösen.
Hast du nicht vergessen das [mm] a^2 [/mm] mit zu übernehmen bei [mm] 0,0004^2t^2: [/mm]
>
> Betrachte die Gleichung so:
>
> [mm]\red{0.0004a}*t^2-[/mm] 0.004a*t + (0.01-0.02a)=0
>
> Gruß v. Angela
also deine Antwort zu b) klingt mir logisch, das habe ich auch verstanden,
aber c) weiß ich nicht ganz wie ich das lösen soll.:
da steht ja nun die Gleichung:
[mm] {0.0004a^2}*t^2-0.004a*t [/mm] + (0.01-0.02a)=0
Diese Gleichung kann man ja jetzt mit der pq-Formel lösen, muss aber vorher durch [mm] 0,0004a^2 [/mm] teilen:
[mm] t^2 [/mm] - [mm] \bruch{2-0.004a*t}{0.0004a^2} [/mm] + [mm] \bruch{(0.01-0.02a)}{0.0004a^2} [/mm] = 0
und das sieht jetzt wieder so kompliziert aus ??? Gibt es vielleicht eine einfachere Schreibweise?
Und was ist eigentlich mit Teil d) ?
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Hallo dusty1993,
> aber c) weiß ich nicht ganz wie ich das lösen soll.:
>
> da steht ja nun die Gleichung:
>
> [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t[/mm] + (0.01-0.02a)=0
>
> Diese Gleichung kann man ja jetzt mit der pq-Formel lösen,
> muss aber vorher durch [mm]0,0004a^2[/mm] teilen:
>
> [mm]t^2[/mm] - [mm]\bruch{2-0.004a*t}{0.0004a^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{(0.01-0.02a)}{0.0004a^2}[/mm] = 0
>
> und das sieht jetzt wieder so kompliziert aus ??? Gibt es
> vielleicht eine einfachere Schreibweise?
>
Die Gleichung
[mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
[mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
> Und was ist eigentlich mit Teil d) ?
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:04 Di 01.02.2011 | | Autor: | dusty1993 |
> Die Gleichung
>
> [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
>
> kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
>
> [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
>
> Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
Wie meinst du das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 01.02.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Die Gleichung
> >
> > [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
> >
> > kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
> >
> > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
Diese Gleichung lässt sich nach t auflösen, indem man zuerst [mm] $-\gamma$ [/mm] addiert,
dann Wurzeln zieht, und dann das t auf der linken Seite weiter isoliert.
> >
> > Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
>
> Wie meinst du das?
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:41 Di 01.02.2011 | | Autor: | dusty1993 |
> Hallo,
>
> > > Die Gleichung
> > >
> > > [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
> > >
> > > kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
> > >
> > > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
> Diese Gleichung lässt sich nach t auflösen, indem man
> zuerst [mm]-\gamma[/mm] addiert,
> dann Wurzeln zieht, und dann das t auf der linken Seite
> weiter isoliert.
> > >
> > > Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
> >
> > Wie meinst du das?
Meine Frage war viel mehr, wie man die 1. Gleichung in das vollständige Quadrat umwandelt? Weil hier [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm] stehen ja keine Zahlen mehr drinne (die müssten doch auch noch eingesetzt werden?).
Sonst rechnet man doch einfach:
[mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm] | - [mm] \gamma
[/mm]
[mm][mm] \left(\alpha+\beta*t\right)^{2} [/mm] = - [mm] \gamma [/mm] | Wurzel ziehen
[mm][mm] \alpha+\beta*t [/mm] = - [mm] \gamma [/mm] | [mm] -\alpha
[/mm]
[mm] \beta*t [/mm] = - [mm] \gamma -\alpha [/mm] | : [mm] \beta
[/mm]
t = [mm] \bruch{ - \gamma -\alpha }{\beta}
[/mm]
(Sorry wenn die Rechnung bisschen komisch aussieht, die Formeln wollen nicht so wie ich das will)
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Hallo dusty1993,
> > Hallo,
> >
> > > > Die Gleichung
> > > >
> > > > [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
> > > >
> > > > kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
> > > >
> > > > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
> > Diese Gleichung lässt sich nach t auflösen, indem man
> > zuerst [mm]-\gamma[/mm] addiert,
> > dann Wurzeln zieht, und dann das t auf der linken Seite
> > weiter isoliert.
> > > >
> > > > Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
> > >
> > > Wie meinst du das?
>
> Meine Frage war viel mehr, wie man die 1. Gleichung in das
> vollständige Quadrat umwandelt? Weil hier
> [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm] stehen ja keine
> Zahlen mehr drinne (die müssten doch auch noch eingesetzt
> werden?).
Multipliziere die Gleichung
[mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
aus und vergleiche sie mit
[mm]{0.0004a^2}\cdot{}t^2-0.004a\cdot{}t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
>
> Sonst rechnet man doch einfach:
>
> [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm] | - [mm]\gamma[/mm]
> [mm][mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}[/mm] = - [mm]\gamma[/mm] | Wurzel ziehen
[mm][mm]\alpha+\beta*t[/mm] = - [mm]\gamma[/mm] | [mm]-\alpha[/mm]
> [mm]\beta*t[/mm] = - [mm]\gamma -\alpha[/mm] | : [mm]\beta[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] t = [mm]\bruch{ - \gamma -\alpha }{\beta}[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm](Sorry wenn die Rechnung bisschen komisch aussieht, die Formeln wollen nicht so wie ich das will)[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
Gruss
MathePower
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> Hallo dusty1993,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > > Die Gleichung
> > > > >
> > > > > [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
> > > >
> >
> > > > > kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
> > > > >
> > > > > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
> > > Diese Gleichung lässt sich nach t auflösen, indem
> man
> > > zuerst [mm]-\gamma[/mm] addiert,
> > > dann Wurzeln zieht, und dann das t auf der linken Seite
> > > weiter isoliert.
> > > > >
> > > > > Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
> > > >
> > > > Wie meinst du das?
> >
> > Meine Frage war viel mehr, wie man die 1. Gleichung in das
> > vollständige Quadrat umwandelt? Weil hier
> > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm] stehen ja keine
> > Zahlen mehr drinne (die müssten doch auch noch eingesetzt
> > werden?).
>
>
>
> Multipliziere die Gleichung
>
> [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
>
> aus und vergleiche sie mit
>
> [mm]{0.0004a^2}\cdot{}t^2-0.004a\cdot{}t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
>
wenn ich das Quadrat (also nur die Klammer) ausmultipliziere komme ich aber auf:
[mm] a^2 [/mm] + [mm] 2a\beta [/mm] + 2at + [mm] 2t\beta [/mm] + [mm] \beta^2 [/mm] + [mm] t^2
[/mm]
aber was hat das bitte nun mit der anderen Gleichung zu tun?
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Hallo dusty1993,
> > Hallo dusty1993,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > > Die Gleichung
> > > > > >
> > > > > > [mm]{0.0004a^2}*t^2-0.004a*t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > > > > kannst Du als vollständige Quadrat plus Zahl schreiben:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
> > > > Diese Gleichung lässt sich nach t auflösen,
> indem
> > man
> > > > zuerst [mm]-\gamma[/mm] addiert,
> > > > dann Wurzeln zieht, und dann das t auf der linken Seite
> > > > weiter isoliert.
> > > > > >
> > > > > > Damit ist das dann ohne pq-Formel lösbar.
> > > > >
> > > > > Wie meinst du das?
> > >
> > > Meine Frage war viel mehr, wie man die 1. Gleichung in das
> > > vollständige Quadrat umwandelt? Weil hier
> > > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm] stehen ja keine
> > > Zahlen mehr drinne (die müssten doch auch noch eingesetzt
> > > werden?).
> >
> >
> >
> > Multipliziere die Gleichung
> >
> > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
> >
> > aus und vergleiche sie mit
> >
> > [mm]{0.0004a^2}\cdot{}t^2-0.004a\cdot{}t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
> >
>
> wenn ich das Quadrat (also nur die Klammer)
> ausmultipliziere komme ich aber auf:
> [mm]a^2[/mm] + [mm]2a\beta[/mm] + 2at + [mm]2t\beta[/mm] + [mm]\beta^2[/mm] + [mm]t^2[/mm]
>
> aber was hat das bitte nun mit der anderen Gleichung zu
> tun?
>
Mit Hilfe der anderen Gleichung kannst
Du die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta,\ \gamma[/mm] bestimmen.
Gruss
MathePower
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> > > Multipliziere die Gleichung
> > >
> > > [mm]\left(\alpha+\beta*t\right)^{2}+\gamma=0[/mm]
> > >
> > > aus und vergleiche sie mit
> > >
> > > [mm]{0.0004a^2}\cdot{}t^2-0.004a\cdot{}t + (0.01-0.02a)=0[/mm]
>
> > >
> >
> > wenn ich das Quadrat (also nur die Klammer)
> > ausmultipliziere komme ich aber auf:
> > [mm]a^2[/mm] + [mm]2a\beta[/mm] + 2at + [mm]2t\beta[/mm] + [mm]\beta^2[/mm] + [mm]t^2[/mm]
> >
> > aber was hat das bitte nun mit der anderen Gleichung zu
> > tun?
> >
>
>
> Mit Hilfe der anderen Gleichung kannst
> Du die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta,\ \gamma[/mm] bestimmen.
>
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie das gehen soll und bin gerade ziemlich ratlos, wie ich das hinbekommen soll.
Dieses Thema kommt mir auch ehrlich gesagt nicht wirklich bekannt vor. Kann vielleicht jemand mal zeigen wie das funktionieren soll mit dem Koeffizienten bestimmen??? Wäre ehct lieb.
Damit wäre dann der Aufgabenteil c) auch gelöst.
Bei d) habe ich wie gesgat immer noch die Frage ob der Ansatz richtig ist!
Danke für die zahlreiche Hilfe. Bin im Moment ziemlich ratlos mit der Aufgabe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 02.02.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
mir scheint, Dir ist beim Ausmultiplieren von $ [mm] \left(\alpha+\beta\cdot{}t\right)^{2} [/mm] $ ein Fehler unterlaufen.
$ [mm] \left(\alpha+\beta\cdot{}t\right)^{2} [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] 2\alpha\beta [/mm] t + [mm] \beta^2 t^2 [/mm] $ (Siehe  binomische Formel mit a = [mm] $\alpha$, [/mm] b = [mm] $\beta [/mm] t$)
Also hast Du einmal
[mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] 2\alpha\beta [/mm] t + [mm] \beta^2 t^2 [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 0$
und das andere mal
$ [mm] {0.0004a^2}\cdot{}t^2-0.004a\cdot{}t [/mm] + (0.01-0.02a)=0 $.
Was sind die Koeffizienten von [mm] $t^2, [/mm] t$ und der Teil ohne [mm] $\cdot [/mm] t$ bei der 1. und bei der 2. Gleichung? (Das ist der Koeffizientenvergleich.)
Wenn Du diese Koeffizienten bei der 2. Gleichung gefunden hast, kannst Du die 2. Gleichung auf die Form $ [mm] \left(\alpha+\beta\cdot{}t\right)^{2}+\gamma=0 [/mm] $ bringen.
Gruß
meili
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