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| Aufgabe | Bei der Glücksspirale wird zur Ermittlung einer 7-stelligen Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln mit den Ziffern 0, 1 , 2, ..., 9 je 7-mal enthält, nacheinander reinzufällig 7 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die W-keit eine 7-stellige Gewinnzahl mit lauter verschiedenen Ziffern zu ziehen? |
Also an sich finde ich die Aufgabe nicht besonders schwer.
Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten beträgt (70!) : (63!).
Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern zu ziehen beträgt meiner Meinung nach 10*9*8*7*6*5*4 = 604800
Begründung: Für die erste Ziffer habe ich 10 Möglichkeiten (sprich verschiedene Zahlen zur Auswahl), für die zweite 9 usw.
Also wäre die gesuchte W-keit: ( (70!) : (63!) ) : 604800
Laut Musterlösung jedoch ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern zu ziehen [mm] 7^{7}.
[/mm]
Und das leuchtet mir nicht ein! Ich verstehe nicht, warum es [mm] 7^{7} [/mm] Möglichkeiten sind.
Kann mir das jemand plausibel erklären?
Bzw. oder ist die Musterlösung evtl. falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 So 14.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ist diese Musterlösung auch wirklich korrekt oder könnte es sein, dass es [mm] \bruch{10!}{3!} [/mm] heißt? Darauf würde ich zumindest kommen.
So müsste es meiner Meinung nach korrekt aussehen
Hab mein ursprüngliches Posting korrigiert
Viele Grüße.
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Vielleicht kannst du die Änderung in deinem Posting ein wenig erläutern - denn jetzt ist der Thread nicht mehr konsistent.
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[edit]
Falsche Idee, was das Ergebnis angeht, aber der Weg führt zum Ziel, wenn man sich nicht so ungeschickt anstellt wie ich beim ersten Mal  .
[/edit]
Das Ergebnis habe ich auch raus - du rechnest 10*9*8.... aber überleg mal, wie viele Kugeln du in deiner Urne drin hast beim 1. Zug, 2. Zug usw. Dann kommst du bestimmt selbst drauf.
Gruß,
weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 So 14.06.2009 | | Autor: | John-Ross |
Also bist du auch der Meinung, dass die Musterlösung falsch ist, ja?
Und das meine Lösung mit 10*9*...*4 = 604800 Möglichkeiten stimmt?
Oder wie meinst du das?
P.S. @ AlChwa:
Der Ziehungsvorgang ist korrekt beschrieben, wie er in der Aufgabe war.
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Ich hab noch ein paar Denkanstöße, denn meines Erachtens sind alle bisher genannten Lösungen mangelhaft (inklusive meiner eigenen Idee, die ja ms2008de vor seiner Korrektur auch nannte).
Denn:
1. Im ersten Schritt gehst du "stur nach Muster" vor bei der Berechnung der Gesamtzahl aller Möglichkeiten (70 Kugeln, 7x ziehen o.Z. mit Reihenfolge).
2. Im zweiten Schritt löst du dich jetzt vom Modell und betrachtest nur noch die Ergebnismenge, wo du auch wieder richtig feststellst, dass es 10*9*8*7*6*5*4 verschiedene Zahlen gibt, bei denen alle Ziffern unterschiedlich sind.
Wenn du aber jetzt die W-keit dafür wissen willst, kannst du diese beiden Zahlen nicht miteinander kombinieren. Ich versuche es mal anschaulich zu machen: du hast je 10 Nuller-/Einser-/Zweier-/....-Kugeln in deiner Urne, und zwar je in 10 verschiedenen Farben. Beim Zählen in 1. unterscheidest du jetzt die Zahl 1234567 und 1234567. Beim Zählen in 2. unterscheidest du die nicht mehr. Das passt also nicht.
Wenn du jetzt für die Gesamtzahl der Möglichkeiten auch nur in die Ergebnismenge reinschaust, dann ist ja klar, dass es nur [mm] 10^7 [/mm] verschiedene Zahlen geben kann (nämlich an jeder der 7 Stellen je 10 Ziffern), aber das hilft dir auch noch nicht weiter, denn die haben durch den Ziehungsmodus nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit:
Beispiel:
[mm] P(1123456)=\bruch{10}{70}* \bruch{9}{69}*\bruch{10}{68}*\bruch{10}{67}*\bruch{10}{66}*\bruch{10}{65}*\bruch{10}{64}
[/mm]
und
[mm] P(1234567)=\bruch{10}{70}* \bruch{10}{69}*\bruch{10}{68}*\bruch{10}{67}*\bruch{10}{66}*\bruch{10}{65}*\bruch{10}{64}
[/mm]
Ich würde vorschlagen, Zug für Zug die W-keit zu überlegen, um eine Zahl mit unterschiedlichen Ziffern zu erhalten:
P("unterschiedliche [mm] Ziffern")=\bruch{70}{70}*..... [/mm] (1. Kugel egal)
P("unterschiedliche [mm] Ziffern")=\bruch{70}{70}*\bruch{60}{69}..... [/mm] (von den 69 übrigen darf ich jetzt 60 ziehen, nur die 9 anderen der 1. Ziffer nicht)
usw.
Gruß,
weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mo 15.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo weightgainer und John Ross,
Also in der Aufgabenstellung steht doch, dass jede Ziffer 7mal in der Urne vertreten ist und nicht 10mal, jedoch gibt es 10 unterschiedliche Ziffern von 0 bis 9.
Also müsste nun doch wohl P(unterschiedliche Ziffern werden gezogen)= [mm] \bruch{70}{70}*\bruch{63}{69}*\bruch{56}{68}*\bruch{49}{67}*\bruch{42}{66}*\bruch{35}{65}*\bruch{28}{64}.
[/mm]
Wenn ich nun aber die Zähler der Brüche betrachte, komme ich nun doch wieder aufs ursprüngliche, nämlich:
[mm] =\bruch{7^{7}*(\bruch{10!}{3!})}{\bruch{70!}{63!}}, [/mm] was ich am Anfang hatte. Welches Ergebnis jedoch [mm] 7^{7} [/mm] wäre, wäre die Anzahl der Möglichkeiten auf ein ganz bestimmtes Ziehungsergebnis zu kommen, z.B auf 7654321: es gibt 7 Möglichkeiten ne 7 ziehen, 7 ne 6 zu ziehen usw. so dass das miteinander multipliziert [mm] 7^{7} [/mm] ergibt. Also würde die Aufgabenstellung lauten, man soll berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine ganz bestimmte Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern zu ziehen, so würde die Musterlösung auch stimmen.
Nun sollte sich das Problem aber endgültig gelöst haben hoffe ich!?
Viele Grüße
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Ja, ich hatte mich so auf die falschen Zahlen versteift, dass ich die Aufgabe dann nicht mehr richtig gelesen hatte.
Danke für die Geduld...
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> Bei der Glücksspirale wird zur Ermittlung einer 7-stelligen
> Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln mit den Ziffern 0,
> 1 , 2, ..., 9 je 7-mal enthält, nacheinander reinzufällig
> 7 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
> Wie groß ist die W-keit eine 7-stellige Gewinnzahl mit
> lauter verschiedenen Ziffern zu ziehen?
Und noch eine Frage:
Ist der Vorgang der Ziehung wirklich richtig beschrieben ?
Sind da wirklich 70 Kugeln in einer Trommel, oder
handelt es sich um eine Trommel mit 7 Abteilen, welche
je 10 Kugeln enthalten ?
LG
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