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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 31.05.2006 | | Autor: | gh23 |
Guten Tag,
Ich habe folgende Differentialgleichung:
[mm]f''(x)+\alpha^2 f(x) = 0[/mm]
Und dazu folgende Lösung:
[mm]f(x) = a \cos(\alpha x)+ b\sin(\alpha x) , a,b \in C[/mm]
Meine Frage ist nun wie man darauf kommt. Es ist ja nicht schwer nachzuprüfen, dass dies wirklich eine Lösung ist. Aber das heißt ja noch nicht, dass es die einzige ist.
Vielen Dank
Flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 31.05.2006 | | Autor: | gh23 |
hui, hier wird einem aber schnell geholfen :)
trotzdem hab ich es noch nich verstanden, woher kommt [mm]\lambda^2 + \alpha^2 = 0[/mm] ?
Ich hätte gedacht, dass man irgendwie einfach per Integration auf die Lösung kommt.
Oder das man einfach annimmt, dass es noch eine zweite Lösung gibt und dann zeigt, dass die beiden Lsg. gleich sein müssen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das ergibt sich aus dem charakteristischen Polynom.
du erhältst dieses durch den Lösungsansatz:
[mm] y''+\red{0}*y'+a²*y=\lambda^2*e^{\lambda*x}+\red{0}*\lambda*e^{\lambda*x}+a^2*e^{\lambda*x}=0
[/mm]
damit ist:
[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x}+a^2*e^{\lambda*x}=0 [/mm] | : [mm] e^{\lambda*x}
[/mm]
bleibt:
[mm] \lambda^2+a^2=0
[/mm]
schau mal in dein Skript nach den Lösungsansätzen, da wirst du das wiederfinden.
Liebe Grüße
Herby
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
sie ergibt sich aus der charakteristischen Gleichung [mm] \lambda^2+\alpha^2=0
[/mm]