Gibt es eine lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Mi 23.01.2008 | | Autor: | bumerang |
| Aufgabe | Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{2}\to\IR^{2}, [/mm] für die gilt:
[mm] f(\(\vektor{1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3}, f(\(\vektor{0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] und [mm] f(\(\vektor{4 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ -8}? [/mm] |
Hallo, gibt es hier einen Trick wie man an diese Art von Aufgaben rangeht? Kann man ein Gleichungssystem aufstellen oder wie kommt man auf die Lösung?
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Hallo bumerang,
ja, gibt es.
Wenn das f eine lineare Abbildung ist, so ist es eine von [mm] $\IR^2\to\IR^2$
[/mm]
Außerdem ist [mm] $\{\vektor{1\\1},\vektor{0\\1}\}$ [/mm] eine Basis vom [mm] $\IR^2$
[/mm]
Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder einer Basis eind. festgelegt.
Die Bilder sind [mm] $f\vektor{1\\1}=\vektor{2\\3}$ [/mm] und [mm] $f\vektor{0\\1}=\vektor{4\\5}$
[/mm]
Mit der obigen Basis kannst du den dritten Vektor eind. als LK darstellen:
[mm] $\vektor{4\\0}=4\cdot{}\vektor{1\\1}-4\cdot{}\vektor{0\\1}$
[/mm]
Nun nachrechnen, ob das Bild des 3. Vektors passt:
[mm] $f\vektor{4\\0}=f\left(4\cdot{}\vektor{1\\1}-4\cdot{}\vektor{0\\1}\right)=....$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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