Gibt es rationale Lösungen...? < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Curley80 |
| Aufgabe | | Gibt es rationale Lösungen der Gleichung [mm] x^4 [/mm] + [mm] 3x^3 [/mm] = 100? Falls ja, welche; falls nein, bitte beweisen!!! |
Hallo ;)
Zu der obig angegebenen Gleichung sollten wir zunächst einen modernisierten Auszug aus dem 30. Kapitel der berühmten "Ars magna" von Girolamo Cardano (1545) - englische Version - lesen, und anschließend in eigenen Worten formulieren, wie Cardano die Gleichung löst. Das war ganz schön viel Arbeit, aber machbar...
Die obig gestellte Aufgabe ist die dazugehörige c)-Aufgabe. Ich würde nun einfach mal sagen, dass es keine rationalen Lösungen dieser Gleichung gibt; es gibt entweder ganzzahlige Lösungen oder irrationale Lösungen, aber wie soll ich das denn jetzt schon wieder beweisen!?
Um eine hilfreiche Antwort würde ich mich sehr, sehr freuen....
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Viele Grüße, Curley
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Curley!
Das ist eher eine Zahlentheoriefrage als eine Fachdidaktik-Frage, oder?
> Gibt es rationale Lösungen der Gleichung [mm]x^4[/mm] + [mm]3x^3[/mm] = 100?
> Falls ja, welche; falls nein, bitte beweisen!!!
> Hallo ;)
>
> Die obig gestellte Aufgabe ist die dazugehörige c)-Aufgabe.
> Ich würde nun einfach mal sagen, dass es keine rationalen
> Lösungen dieser Gleichung gibt; es gibt entweder
> ganzzahlige Lösungen oder irrationale Lösungen, aber wie
> soll ich das denn jetzt schon wieder beweisen!?
Es kann auch ganzzahlige und irrationale Loesungen geben. Du meinst wahrscheinlich: Eine Loesung ist entweder ganzzahlig oder irrational.
Und das kann man recht einfach zeigen, es ist genau der gleiche Trick wie man zeigt dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht rational ist. Du nimmst an, dass du eine rationale Loesung $x = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] hast mit $p, q [mm] \in \IZ$, [/mm] $q [mm] \neq [/mm] 0$ und $p, q$ teilerfremd. Dann setzt du $x = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] ein und multiplizierst die Gleichung mit [mm] $q^4$. [/mm] Jetzt bringst du alle Summanden, die eine Potenz von $q$ enthalten, auf die eine Seite und den Rest auf die andere Seite. Auf der anderen Seite steht nur noch [mm] $p^4$ [/mm] (evtl. mit Vorzeichen).
Angenommen, $q [mm] \neq \pm [/mm] 1$. Dann gibt es eine Primzahl [mm] $\hat{q}$, [/mm] die $q$ teilt. Diese teilt also die gesamte eine Seite der Gleichung, muss also auch die andere Seite [mm] ($\pm p^4$) [/mm] teilen. Da [mm] $\hat{q}$ [/mm] eine Primzahl ist und [mm] $p^4 [/mm] = p [mm] \cdot [/mm] p [mm] \cdot [/mm] p [mm] \cdot [/mm] p$ ein Produkt von ganzen Zahlen, muss [mm] $\hat{q}$ [/mm] auch einen der Faktoren teilen, also $p$. Dann ist [mm] $\hat{q}$ [/mm] jedoch ein Teiler von $p$ und $q$, womit $p$ und $q$ nicht teilerfremd waren!
Also gibt es keine Primzahl, die $q$ teilt, womit $q$ nur $1$ oder $-1$ sein kann. Damit ist $x = [mm] \frac{p}{q} \in \IZ$.
[/mm]
Damit hast du jetzt, dass eine Loesung entweder rational oder irrational ist.
Jetzt brauchst du noch folgenen Trick: Ist $x [mm] \in \IZ$ [/mm] eine ganzzahlige Loesung von [mm] $x^4 [/mm] + 3 [mm] x^3 [/mm] = 100$, so ist $x$ ein Teiler von $100$. Das kannst du hier sofort ablesen: Da $x$ offensichtlich ein Teiler von [mm] $x^4 [/mm] + 3 [mm] x^3$ [/mm] ist, ist $x$ auch ein Teiler von $100$. Und Teiler von 100 gibt es nicht sooo viele [mm] ($\pm [/mm] 1$, [mm] $\pm [/mm] 2$, [mm] $\pm [/mm] 5$, [mm] $\pm [/mm] 10$, [mm] $\pm [/mm] 20$, [mm] $\pm [/mm] 25$, [mm] $\pm [/mm] 50$, [mm] $\pm [/mm] 100$), die du alle durchprobieren kannst.
LG Felix
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