Gibt es unendlich viele...? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 13.02.2008 | | Autor: | ThomasR |
| Aufgabe | Gibt es unendlich viele ganze Zahlen n mit der Eigenschaft, dass
n²-1 durch höchstens zwei verschiedene Primzahlen teilbar ist, gleichzeitig aber nicht durch das Quadrat einer ungeraden Primzahl? |
Ich habe mich seit knapp drei Jahren nicht mehr mit Zahlentheorie beschäftigt und sitze hier dementsprechend wie vor einem Buch mit sieben Siegeln.
Hat jemand eine Idee, wie ich mich der Aufgabe nähern könnte, bzw. welche Zusammenhänge aus der Zahlentheorie mich da richtung Ziel bringen könnten?
Dass jemand von euch die Aufgabe komplett löst und dann hier postet kann ich natürlich nicht verlangen, aber falls das doch jemand schafft hätte ich auch nichts dagegen. :)
Aber ich glaube, dass die Aufgabe nicht ganz einfach ist.
-Gruß Thomas
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Gibt es unendlich viele ganze Zahlen n mit der Eigenschaft,
> dass
> n²-1 durch höchstens zwei verschiedene Primzahlen teilbar
> ist, gleichzeitig aber nicht durch das Quadrat einer
> ungeraden Primzahl?
> Ich habe mich seit knapp drei Jahren nicht mehr mit
> Zahlentheorie beschäftigt und sitze hier dementsprechend
> wie vor einem Buch mit sieben Siegeln.
> Hat jemand eine Idee, wie ich mich der Aufgabe nähern
> könnte, bzw. welche Zusammenhänge aus der Zahlentheorie
> mich da richtung Ziel bringen könnten?
> Dass jemand von euch die Aufgabe komplett löst und dann
> hier postet kann ich natürlich nicht verlangen, aber falls
> das doch jemand schafft hätte ich auch nichts dagegen. :)
> Aber ich glaube, dass die Aufgabe nicht ganz einfach ist.
>
> -Gruß Thomas
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://matheplanet.com
[mm] n^2-1 [/mm] hat auf alle Fälle zwei Teiler, nämlich (n-1) und (n+1). Wenn diese Faktoren noch weitere Primteiler hätten, dann hätte [mm] n^2-1 [/mm] mehr als zwei Primteiler (oder zwei Primteile, von denen mindestens einer mehrfach vorkommt wie z.B. in [mm] 99=(10+1)(10-1)=11*3^2 [/mm] ). Da [mm] n^2-1 [/mm] aber nicht durch das Quadrat einer Primzahl teilbar sein darf, müssen (n-1) und (n+1) selbst Primzahlen sein, wenn es nur zwei Primteiler geben soll.
Die Frage ist also: gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge (Primzahlpaare mir der Differenz 2).
Ich kann noch beisteuern, dass jede Primzahl>3 in der Form 6k [mm] \pm [/mm] 1 [mm] (k\in\IN) [/mm] dargestellt werden kann.
Ich hoffe das reicht dir, um gezielter recherchieren zu können.
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