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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Geben sei folgende Matrix mit Parameter [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -2 & \alpha & -3 \\ 0 & 3 & 2 }
[/mm]
Lösen Sie das Gleichungssystem [mm] A*\vec{x}=(0,0,1)^{T} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \alpha. [/mm] |
hallo leute!
was heisst denn hier das T im Exponenten des Vektors? kann ich das System ganz normal lösen oder was bedeutet das?
dank und lg markus
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Hallo mwieland,
> Geben sei folgende Matrix mit Parameter [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
-2 & \alpha & -3 \\
0 & 3 & 2 }[/mm]
>
> Lösen Sie das Gleichungssystem [mm]A*\vec{x}=(0,0,1)^{T}[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]\alpha.[/mm]
> hallo leute!
>
> was heisst denn hier das T im Exponenten des Vektors?
Das heißt "transponiert", dh. der Vektor wird gekippt.
[mm](0,0,1)^T=\vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
Man schreibt die Vektoren im [mm]\IR^3[/mm] ([mm]\IR^n[/mm]) oft platzsparend als Zeilenvektor und schreibt das T=transponiert dran, weil man ja einen Spaltenvektor meint.
Es ist ja aus "Dimensionsgründen" auch [mm]A\cdot{}\vec{x}=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
-2 & \alpha & -3 \\
0 & 3 & 2 }\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] im Ergebnis eine [mm]3\times 1[/mm]-Matrix, also ein Spaltenvektor.
Zu lösen ist also [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
-2 & \alpha & -3 \\
0 & 3 & 2 }\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
> kann
> ich das System ganz normal lösen oder was bedeutet das?
>
> dank und lg markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
danke vielmals mal soweit 
habe hierzu noch eine frage: wenn ich ejtzt hier das beginne aufzulösen mittels der zeilennormalform und die zeilen 2 und 3 vertausche bekomme ich dann mal folgendes:
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & \alpha +2 & 0}*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
dann kann ich ja hier im prinzip schon herauslesen dass [mm] \alpha [/mm] = -2 oder?
da aber dann der [mm] Rang(A,\vec{b}) [/mm] = Rg(A) < n ist, habe ich einen Freiheitsgrad zum lösen oder?
dann schreib ich mir das Gleichungssystem an mit den oberen 2 gleichungen, welche hier wären
I x+2y+3z=0
II 3y+2z = 0
wähle hier dann für x = -1
und komme dann auf die lösungen für [mm] y=z=\bruch{1}{5}
[/mm]
kann man das so machen bzw. stimmt das so?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> danke vielmals mal soweit
>
> habe hierzu noch eine frage: wenn ich ejtzt hier das
> beginne aufzulösen mittels der zeilennormalform und die
> zeilen 2 und 3 vertausche bekomme ich dann mal folgendes:
>
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & \alpha +2 & 0}*\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> dann kann ich ja hier im prinzip schon herauslesen dass
> [mm]\alpha[/mm] = -2 oder?
Und was ist für [mm]\alpha[/mm] [mm] \ne [/mm] -2 ?? Ich sags Dir. In diesem Fall hat das LGS genau eine Lösung.
>
> da aber dann der [mm]Rang(A,\vec{b})[/mm] = Rg(A) < n ist, habe ich
> einen Freiheitsgrad zum lösen oder?
Ja
>
> dann schreib ich mir das Gleichungssystem an mit den oberen
> 2 gleichungen, welche hier wären
>
> I x+2y+3z=0
> II 3y+2z = 0
>
> wähle hier dann für x = -1
>
> und komme dann auf die lösungen für [mm]y=z=\bruch{1}{5}[/mm]
>
> kann man das so machen bzw. stimmt das so?
Nei und nein.
Das LGS lautet
x+2y+3z=0
3y+2z = 1
und hat unendlich viele Lösungen !!
FRED
>
> dank und lg
>
> mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
> > danke vielmals mal soweit
> >
> > habe hierzu noch eine frage: wenn ich ejtzt hier das
> > beginne aufzulösen mittels der zeilennormalform und die
> > zeilen 2 und 3 vertausche bekomme ich dann mal folgendes:
> >
> >
> > [mm]\pmat{1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & \alpha +2 & 0}*\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> > = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > dann kann ich ja hier im prinzip schon herauslesen dass
> > [mm]\alpha[/mm] = -2 oder?
>
> Und was ist für [mm]\alpha[/mm] [mm]\ne[/mm] -2 ?? Ich sags Dir. In
> diesem Fall hat das LGS genau eine Lösung.
wie behandle ich den fall, dass [mm] \alpha \not= [/mm] -2, wähle ich mir dann einfach irgendein [mm] \alpha [/mm] aus um das GlS aufzustellen oder wie mache ich das?
>
>
> >
> > da aber dann der [mm]Rang(A,\vec{b})[/mm] = Rg(A) < n ist, habe ich
> > einen Freiheitsgrad zum lösen oder?
>
> Ja
>
>
> >
> > dann schreib ich mir das Gleichungssystem an mit den oberen
> > 2 gleichungen, welche hier wären
> >
> > I x+2y+3z=0
> > II 3y+2z = 0
> >
> > wähle hier dann für x = -1
> >
> > und komme dann auf die lösungen für [mm]y=z=\bruch{1}{5}[/mm]
> >
> > kann man das so machen bzw. stimmt das so?
>
> Nei und nein.
>
> Das LGS lautet
>
> x+2y+3z=0
> 3y+2z = 1
>
> und hat unendlich viele Lösungen !!
kann ich dann im prinzip immer sagen, sobald mind. 1 freiheitsgrad vorliegt hat es unendlich viele lösungen?
dank und lg
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Hallo miooo,
> > > [mm]\pmat{1 & 2 & 3 \\
0 & 3 & 2 \\
0 & \alpha +2 & 0}*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm]
> > > = [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
> > >
> > > dann kann ich ja hier im prinzip schon herauslesen dass
> > > [mm]\alpha[/mm] = -2 oder?
> >
> > Und was ist für [mm]\alpha[/mm] [mm]\ne[/mm] -2 ?? Ich sags Dir. In
> > diesem Fall hat das LGS genau eine Lösung.
>
> wie behandle ich den fall, dass [mm]\alpha \not=[/mm] -2, wähle ich
> mir dann einfach irgendein [mm]\alpha[/mm] aus um das GlS
> aufzustellen oder wie mache ich das?
Quatsch. Dein GlS steht doch schon da. Wenn [mm] \alpha\not={-2} [/mm] ist, dann ist [mm] y=\bruch{0}{\alpha+2}=0. [/mm] Dazu musst Du kein bestimmtes [mm] \alpha [/mm] auswählen; sollst Du auch nicht.
> > Das LGS lautet
> >
> > x+2y+3z=0
> > 3y+2z = 1
> >
> > und hat unendlich viele Lösungen !!
> kann ich dann im prinzip immer sagen, sobald mind. 1
> freiheitsgrad vorliegt hat es unendlich viele lösungen?
Ja, so ist es. Aber es geht ja genauer, indem Du die Zahl der Freiheitsgrade/Unbestimmtheiten angibst. Es macht doch einen Unterschied, ob ich nun einen oder zwei Parameter (oder gar mehr) zur Verfügung habe. Außerdem sind die Lösungen dann ja normalerweise auch präzise zu formulieren, nur eben parameterabhängig.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
m.E. hast du beim Umformen (mindestens) einen Bock geschossen.
Ich komme ausgehend von [mm]\pmat{1&2&3\\
-2&\alpha&-3\\
0&3&2}\cdot{}\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{0\\
0\\
1}[/mm] über das Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix und Gauß letzlich von
[mm]\pmat{1&2&3&\mid&0\\
-2&\alpha&-3&\mid&0\\
0&3&2&\mid&1}[/mm] zu
[mm]\pmat{1&2&3&\mid&0\\
0&\alpha+4&3&\mid&0\\
0&0&2\alpha-1&\mid&\alpha+4}[/mm]
Und hier gibts keine Lsg. für [mm]\alpha=\frac{1}{2}[/mm] und sonst eind. Lösbarkeit ...
Ohne Gewähr auf Rechenfehler ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ja danke dir, hatte ich auch schon bemerkt...
nur wie bekommst du das [mm] \alpha [/mm] in die letzte zeile, kannst du mir bitte kurz deine schritte sagen, kann das nicht ganz nachvollziehen...
vielen dank,
lg mark
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Hallo mwieland,
> ja danke dir, hatte ich auch schon bemerkt...
>
> nur wie bekommst du das [mm]\alpha[/mm] in die letzte zeile, kannst
> du mir bitte kurz deine schritte sagen, kann das nicht ganz
> nachvollziehen...
>
Durch Anwendung des Gauß-Algorithmus.
> vielen dank,
>
> lg mark
Gruss
MathePower
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