Gleiche Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Tobi07 |
| Aufgabe | Zwei Matritzen P und Q verhalten sich wie folgt zueinander:
[mm] P=e^Q [/mm] (1)
dabei ist [mm] e^Q [/mm] wie folgt definiert:
[mm] e^Q [/mm] = [mm] \summe_{i>0} \bruch{Q^i}{i!} [/mm] (2)
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Hallo,
aus Gleichung (2) soll Ersichtlich sein, dass P und Q die gleichen Eigenvektoren haben, und wenn a ein Eigenwert von Q ist, dann ist [mm] e^a [/mm] ein Eigenwert von P.
Leider verstehe ich diesen Zusammenhang nicht, da ich von Eigenwert und Eigenvektor nur die Definition und einige Rechenbeispiele kenne.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigenvektor x zu P mit Eigenwert a heisst Px=ax
daraus [mm] P^2x=P(Px)=Pax=aPx=a*ax=a^2
[/mm]
damit entsprechend [mm] P^nx=a^n [/mm] x
jetzt die Reihe!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 So 17.06.2007 | | Autor: | Tobi07 |
Hallo,
und vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich hätte da aber noch eine Frage.
Du hast oben gezeigt, dass sich der Eigenvektor durch Exponieren nicht ändert.
Da man die Summe [mm] $\summe_{i>1}\bruch{Q^i}{i!}$ [/mm] auch als [mm] $\summe_{i>1}\bruch{1}{i!}Q^i$ [/mm] aufschreiben kann, muss ich nur noch
[mm] $\summe_{i>1}\bruch{1}{i!}$ [/mm] auf
[mm] $Q^nx=a^n$ [/mm] anwenden. Also:
[mm] $\summe_{i>1}\bruch{1}{i!}Q^i*x=\summe_{i>1}\bruch{1}{i!}a^i*x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x * [mm] \summe_{i>1}\bruch{1}{i!}Q^i [/mm] = x * [mm] \summe{i>0}\bruch{a^i}{i!}=x* e^a$
[/mm]
also ist [mm] $e^a$ [/mm] der Eigenwert von P.
Ist das so richtig?
Gruß
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 19.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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