Gleichgradige Integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Do 01.07.2010 | | Autor: | kevin314 |
Hi,
ich habe ein Problem aus unserer Definition von gleichgradig integrierbar die g.i. von einelementigen Teilmengen aus [mm] $\mathcal{L}_1$ [/mm] zu folgern. Wir haben definiert:
Eine Menge $M$ von ZVA heißt g.i. wenn für alle [mm] $\epsilon\geq [/mm] 0$ ein $k$ gibt, mit
[mm] $\integral_{|X|\geq k} [/mm] |X|dP [mm] \leq \epsilon \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] M.$
stimmt es, dass $P(|X|= [mm] \infty)\geq [/mm] 0$ gelten müsste, wenn es zu einem [mm] $\epsilon$ [/mm] kein $k$ gäbe?
Gruß Kevin
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Huhu,
> stimmt es, dass [mm]P(|X|= \infty)\geq 0[/mm] gelten müsste, wenn
> es zu einem [mm]\epsilon[/mm] kein [mm]k[/mm] gäbe?
Naja, so gestellt lautet es ganz klar: Ja, es muss gelten, da [mm]P(|X|= \infty)\geq 0[/mm] IMMER gilt 
Du meinst bestimmt, ob [mm]P(|X|= \infty) > 0[/mm] dann zwangsweise gilt.
Überleg dir dazu, dass folgendes gilt:
$P(|X|= [mm] \infty) [/mm] = [mm] P(\bigcap_{k=0}^{\infty}\{|X|\ge k\}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcap_{k=0}^{n}\{|X|\ge k\}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] P(|X| [mm] \ge [/mm] n)$
und damit:
[mm] $1_{\{|X| = \infty\}} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}1_{\{|X| \ge n\}}$
[/mm]
d.h. gilt nun $P(|X| = [mm] \infty) [/mm] = 0$ folgt mit Satz von der Majorisierten Konv.
(warum?)
[mm] $\lim_{n\to\infty}\integral_{X\ge n}|X|dP [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \integral_{\Omega}|X| 1_{\{X\ge n\}} [/mm] dP = [mm] \integral_{\Omega}|X|1_{\{|X| = \infty\}}dP [/mm] = [mm] \integral_{|X| = \infty} [/mm] |X| dP = 0$
Daraus folgt sofort g.i. (warum?)
MFG,
Gono.
>
> Gruß Kevin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 06.07.2010 | | Autor: | kevin314 |
danke für die antwort!
> Naja, so gestellt lautet es ganz klar: Ja, es muss gelten,
> da [mm]P(|X|= \infty)\geq 0[/mm] IMMER gilt
>
> Du meinst bestimmt, ob [mm]P(|X|= \infty) > 0[/mm] dann zwangsweise
> gilt.
hmpf, das war ja eine absolute Glanzleistung von mir, hast mich genau richtig verstanden...
> Überleg dir dazu, dass folgendes gilt:
>
> [mm]P(|X|= \infty) = P(\bigcap_{k=0}^{\infty}\{|X|\ge k\}) = \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcap_{k=0}^{n}\{|X|\ge k\}) = \limes_{n\rightarrow\infty} P(|X| \ge n)[/mm]
>
> und damit:
>
> [mm]1_{\{|X| = \infty\}} = \lim_{n\to\infty}1_{\{|X| \ge n\}}[/mm]
>
> d.h. gilt nun [mm]P(|X| = \infty) = 0[/mm] folgt mit Satz von der
> Majorisierten Konv.
> (warum?)
warum schließt man hier nicht mit der monotonen Konvergenz?
> [mm]\lim_{n\to\infty}\integral_{X\ge n}|X|dP = \lim_{n\to\infty} \integral_{\Omega}|X| 1_{\{X\ge n\}} dP = \integral_{\Omega}|X|1_{\{|X| = \infty\}}dP = \integral_{|X| = \infty} |X| dP = 0[/mm]
>
> Daraus folgt sofort g.i. (warum?)
das ist einfach die Definition des Grenzwertes für eine Folge reeller Zahlen!
> MFG,
> Gono.
nochmal vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Di 06.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für die antwort!
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> > Naja, so gestellt lautet es ganz klar: Ja, es muss gelten,
> > da [mm]P(|X|= \infty)\geq 0[/mm] IMMER gilt
> >
> > Du meinst bestimmt, ob [mm]P(|X|= \infty) > 0[/mm] dann zwangsweise
> > gilt.
>
> hmpf, das war ja eine absolute Glanzleistung von mir, hast
> mich genau richtig verstanden...
>
> > Überleg dir dazu, dass folgendes gilt:
> >
> > [mm]P(|X|= \infty) = P(\bigcap_{k=0}^{\infty}\{|X|\ge k\}) = \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcap_{k=0}^{n}\{|X|\ge k\}) = \limes_{n\rightarrow\infty} P(|X| \ge n)[/mm]
>
> >
> > und damit:
> >
> > [mm]1_{\{|X| = \infty\}} = \lim_{n\to\infty}1_{\{|X| \ge n\}}[/mm]
>
> >
> > d.h. gilt nun [mm]P(|X| = \infty) = 0[/mm] folgt mit Satz von der
> > Majorisierten Konv.
> > (warum?)
>
> warum schließt man hier nicht mit der monotonen
> Konvergenz?
wenn ich nicht gerade etwas übersehe, sollte beides gehen. Majorisierte Konvergenz ist offensichtlich, da wir die Majorante kennen.
Monotone Konvergenz geht aber mit
[mm] $$f_n=1_{\{|X| \ge n\}},\;\;f=1_{\{|X| =\infty\}}$$
[/mm]
jedenfalls sicher nicht direkt, da z.B.
[mm] $$f_2(w)=1 \gdw |X(w)|\ge [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] |X(w)| [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow f_1(w)=1,$$
[/mm]
aber
[mm] $$f_2(w)=0 \text{ würde zwar gelten für }|X(w)|=1,5,\;\text{ aber für dieses }w\text{ wäre }f_1(w)=1 [/mm] > [mm] f_2(w)\,.$$
[/mm]
Genauer:
[mm] $\{w: |X(w)| \ge n\}$ [/mm] "schrumpft ja mit wachsendem [mm] $n\,,$" [/mm] so dass Du Dir überlegen kannst, dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine (fast überall) monoton fallende Folge ist.
Wenn man nun [mm] $g_n=1-f_n$ [/mm] und $g=1-f$ betrachtet (vll. alternativ: [mm] $g_n=-f_n$ [/mm] und $g=-f$), passt's dann aber vielleicht mit der monotonen Kgz. (Schreib's Dir mal auf; wenn ich da gerade 'n Riesenpatzer gemacht habe und Unfug erzähle: Naja, ich bin etwas müde von 'nem anstrengenden Tag und leider gerade denkfaul. Also bitte ich um Gnade und Verzeihung. )
Aber generell: Warum soll man in gewissen Situationen nicht mit beiden Sätzen arbeiten können?
> > [mm]\lim_{n\to\infty}\integral_{X\ge n}|X|dP = \lim_{n\to\infty} \integral_{\Omega}|X| 1_{\{X\ge n\}} dP = \integral_{\Omega}|X|1_{\{|X| = \infty\}}dP = \integral_{|X| = \infty} |X| dP = 0[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt sofort g.i. (warum?)
>
> das ist einfach die Definition des Grenzwertes für eine
> Folge reeller Zahlen!
Jupp, weil [mm] $\lim_{n\to\infty}\integral_{X\ge n}|X|dP=0$ [/mm] folgt per Definitionem des GW:
Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $n\,$ [/mm] mit [mm] $\ldots$, [/mm] also wähle [mm] $\kappa=n$ [/mm] und dann steht's formal genauso da wie in der Definition von g.i..
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Di 06.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> ich habe ein Problem aus unserer Definition von
> gleichgradig integrierbar die g.i. von einelementigen
> Teilmengen aus [mm]\mathcal{L}_1[/mm] zu folgern. Wir haben
> definiert:
>
> Eine Menge [mm]M[/mm] von ZVA heißt g.i. wenn für alle
> [mm]\epsilon\geq 0[/mm] ein [mm]k[/mm] gibt, mit
>
> [mm]\integral_{|X|\geq k} |X|dP \leq \epsilon \forall X \in M.[/mm]
>
> stimmt es, dass [mm]P(|X|= \infty)\geq 0[/mm] gelten müsste, wenn
> es zu einem [mm]\epsilon[/mm] kein [mm]k[/mm] gäbe?
ohne, dass ich drüber nachgedacht habe, ob das hier vielleicht äquivalent ist:
Steht in der Definition nicht eher "Für alle [mm] $\blue{\epsilon > 0}$..." [/mm] anstatt [mm] $\epsilon\; \red{\ge 0}$? [/mm] Ansonsten wäre ja
[mm] $$\int_{|X| \ge n}|X|dP=0\;\;\text{(für alle relevanten }X\text{)}$$
[/mm]
für genügend große(s) [mm] $n\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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