Gleichheit stetiger Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 02.01.2008 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Sind f,g: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] beide stetig auf [a,b] und gilt
f(x) = g(x) für alle x [mm] \in \IQ \cap [/mm] [a,b]
so gilt auch
f(x) = g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] |
Ich müsste doch zeigen, dass
Aus der Gleichheit der Funktionen für alle x [mm] \in \IQ \cut [/mm] [a,b] folgt , dass die Gleichheit immer gilt, egal welche Werte ich aus dem Intervall für x einsetze.
Bedeutet doch, dass ich alle [mm] \IQ [/mm] des Intervalls aus [mm] \IR [/mm] aproximieren kann... oder? (Dichtheit?)
Das geht doch eigentlich, da die x [mm] \in \IQ [/mm] als GW von [mm] \R [/mm] darstellbar sind, oder?
Wie schreibe ich das auf - sofern das richtig gedacht ist?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sind f,g: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] beide stetig auf [a,b] und gilt
> f(x) = g(x) für alle x [mm]\in \IQ \cap[/mm] [a,b]
> so gilt auch
> f(x) = g(x) für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]
> Ich müsste doch zeigen, dass
> Aus der Gleichheit der Funktionen für alle x [mm]\in \IQ \cut[/mm]
> [a,b] folgt , dass die Gleichheit immer gilt, egal welche
> Werte ich aus dem Intervall für x einsetze.
> Bedeutet doch, dass ich alle [mm]\IQ[/mm] des Intervalls aus [mm]\IR[/mm]
> aproximieren kann... oder? (Dichtheit?)
> Das geht doch eigentlich, da die x [mm]\in \IQ[/mm] als GW von [mm]\R[/mm]
> darstellbar sind, oder?
> Wie schreibe ich das auf - sofern das richtig gedacht ist?
Wenn ich deine Argumentation richtig verstehe, dann bist du auf dem richtigen Weg.
Überleg dir Folgendes: Jedes [mm]x\in[a,b][/mm] ist Grenzwert einer Folge [mm](x_n)_n[/mm] rationaler Zahlen aus [mm][a,b][/mm]. Betrachte die Folge [mm]f(x_n)-g(x_n)[/mm]. Was folgt aus der Stetigkeit von f und g?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 02.01.2008 | | Autor: | matt57 |
Hallo und Danke
Das bedeutet dann doch, dass ich mit der Differenz zweier Grenzwerte aus f(x) und g(x) (aus [mm] \IQ) [/mm] jedes x im Intervall darstellen könnte, oder?
Wie schreibe ich das elegant auf, so es richtig ist?
Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 02.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
fang so an:
Sei $x [mm] \in [/mm] [a [mm] \; [/mm] ; [mm] \; [/mm] b]$ und [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Folge in $ [a [mm] \; [/mm] ; [mm] \; [/mm] b] [mm] \cap \IQ$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n [/mm] = x.$
...
jetzt Rainer's Vorschlag...
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 03.01.2008 | | Autor: | matt57 |
Also ich bekomme den Dreh nicht wirklich...
Ich versuche es mal anhand eines Beispiels zu verstehen - vielleicht habe ich ja grundsätzlich was missverstanden:
Seien
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] g(x)=x^2, [/mm]
mit x in $ [a [mm] \; [/mm] ; [mm] \; [/mm] b] [mm] \cap \IQ$
[/mm]
Hier kann ich also alle rationalen Zahlen für x einsetzen die im Intervall liegen
(sei obere Schranke a=100 untere Schranke b=1).
Setze x = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
also f(x) = [mm] \bruch{16}{9}
[/mm]
Da f(x) = g(x) stetig, gilt:
[mm] \bruch{16}{9} [/mm]
wäre auch als Bruch aus lim von [mm] x_{16} [/mm] und lim von [mm] x_{9} [/mm] darstellbar... (Kann ich einfach die limites dividieren?)
Dann wäre
Und somit würde im Allgemeinen die Gleichheit von f(x)=g(x) auch für alle Zahlen im Invervall gelten
Ist das prinzipiell richtig verstanden...?
Ich verstehe ich nur nicht, wie ich f(x)-g(x) ins Spiel bringen muss.
Vielen Dank und Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch die Gleichheit gegeben für die rationalen Zahlen, also musst du sie nur noch für alle reellen Zahlen zeigen. Dazu brauchst du die def. einer beliebigen reellen Zahl aus dem Intervall, und die Stetigkeit der fkt. auf dem ganzen Intervall.
daraus musst du schliessen, dass f(x)-g(x)=0 für ALLE x nicht nur für die rationalen.
einfach ist ein Wiederspruchsbeweis. nimm an es gibt ein r mit [mm] f8r)-g(r)\ne0
[/mm]
folgere daraus, dass f oder g nicht stetig ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 03.01.2008 | | Autor: | matt57 |
Hallo und vielen Dank!
Ich bin wohl etwas langsam im Kapieren..., also:
Ich muss doch eine Folgerung nachweisen... "so gilt auch..."
Reicht es da, einen Widerspruchsbeweis zu führen.
Ich versuchs einfach
Etwa so?
Angenommen, es gibt ein r für das gilt f(r) - g(r) [mm] \not=0
[/mm]
Dann ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(g(x_{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}))- \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n}))\not=0
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch, da f(x) und g(x), also auch f(g(x)) als stetig angenommen war.
Mir ist hier aber immer noch nicht ganz klar, wie ich von den rationalen auf die reellen Zahlen schließen kann.
Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher kommt plötzlich f(g(x))? das sollte gar nicht vorkommen.
Dein Beweis ist aber zu schnell!
Du musst klar machen.
1. für jede Folge [mm] x_n [/mm] die gegen r konvergiert, gilt [mm] lim(f(x_n))=f(r) [/mm] das ist die Stetigkeit benutzt.
2. für jedes rationale [mm] x_n [/mm] gilt [mm] f(x_n)=g(x_n)
[/mm]
3. wähle eine rationale Folge von [mm] x_n [/mm] mit [mm] limx_n=r [/mm] (existiert wegen def. der reellen Zahlen)
es gilt also [mm] f(x_n)-g(x_n)=0 [/mm] aber [mm] f(r)-g(r)\ne0 [/mm] also [mm] f(r)-g(r)=a\ne0
[/mm]
jetz wähle [mm] |r-x_n|<\delta, [/mm] so dass [mm] |f(r)-f(x_n)|
dann folgerst du |f(r)-g(r)|<a im Widerspruch zur Annahme.
Gruss leduart
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Hallo, ich muss auch diese Aufgabe lösen, komme aber am Ende nicht ganz weiter. Außerdem ist bei mir der Definitionsbereich nicht eingeschränkt, sondern die Funktion geht von [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
Also ich fange an:
Sei [mm] r\in\IR [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] eine Folge in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = r. Dieser Grenzwert existiert, da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Da f und g für alle rationale Zahlen gleich sind gilt [mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] g(x_{n})
[/mm]
Jetzt kommt mein indirekter Beweis. Ich nehme an, dass für alle irrationale Zahlen f und g nicht gleich sind, dann gilt ja: f(r) [mm] \not= [/mm] g(r) bzw. f(r) - g(r) [mm] \not= [/mm] 0.
Doch wie kann ich jetzt mit Hilfe der Stetigkeit zu einem Widerspruch kommen?
Den letzten Teil von leuderts Antwort kann ich leider gar nicht mehr nachvollziehen. Wieso plötzlich a/3. Und wie mache ich es bei mir, da ich ja kein Intervall habe.
Ich hoffe da kann mir jemand weiterhelfen. Danke. Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 05.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst das nicht für alle r, sondern nur für mindestens ein r. Du hast also ein bestimmtes r.
du betrachtest die fkt h=f-g, die als Differenz 2 er stetiger fkt stetig ist. [mm] h(x_n)=0 [/mm] für alle [mm] x_n\in [/mm] Q. [mm] x_n [/mm] ist eine Folge von rationalen Zahlen mit [mm] limx_n=r
[/mm]
aus der Stetigkeit von h folgt lim [mm] h(x_n)=h(r)falls h(r)\ne [/mm] 0,
|h(r)|=a>0
jetzt findest du eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von r also ein [mm] x_n [/mm] mit [mm] |x_n-r|<\delta [/mm] folgt [mm] |h(x_n)-h(r)|=|h(r)|
Gruss leduart
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