Gleichheit von Konvenxer Hülle < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien $X$ der affine Raum [mm] $\IR^2$ [/mm] und $A=(1,2)$, $B=(2,1)$, $C=(3,6)$, $D=(2,3)$, $A'=(1,-1)$, $B'=(10,-1)$, $C'=(5,-5)$ Punkte aus $X$.
Zeigen Sie, dass für die konvexen Hüllen gilt:
[mm] $\mathfrak{C}(\{ A,B,C \}) [/mm] = [mm] \mathfrak{C}(\{A,B,C,D\})$. [/mm] |
Das [mm] $\mathfrak{C}(\{ A,B,C \}) \subseteq \mathfrak{C}(\{A,B,C,D\})$ [/mm] ist trivial.
Das Problem besteht eher bei [mm] $\mathfrak{C}(\{ A,B,C \})\supseteq \mathfrak{C}(\{A,B,C,D\})$.
[/mm]
Zu zeigen ist eigentlich nur folgendes. [mm] $D\in \mathfrak{C}(\{ A,B,C \})$, [/mm] bzw. $D$ ist innerer Punkt.
Das ganze habe ich auch bereits über das Baryzentrum gelöst. Der Punkt D ist witzigerweise hier genau das Baryzemtrum des Systems $((A,B,C),(1,1,1))$.
Das habe ich aber nur geahnt, weil es anschaulich (durch Zeichnung) ganz danach aussieht.
Ich müsste das ganze aber doch auch zeigen können, wenn $D$ nicht grade das Baryzentrum ist.
Und genau da liegt mein Problem. Ich weiss nicht wie ich das ganze anstellen soll.
Kann mir da vll. jemand weiterhelfen?
Mit freundlichen Grüßen,
Raspery
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Do 03.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nenne den Vektor AB a den AC b
jeder Punkt im inneren von ABC lässt sich als P= A+r*a+s*b darstellen mit r+s<1
oder du versiehst die Ecken mit Gewichten, r,s,t dann ist ein innerer Punkt (r*A+s*B+t*C)/(r+s+t)
Gruss ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 04.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Um $ [mm] D\in \mathfrak{C}(\{ A,B,C \}) [/mm] $ zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass das LGS
2=a+2b+3c
2=2a+b+6c
eine Lösung mit a,b,c [mm] \ge [/mm] 0 und a+b+c [mm] \le [/mm] 1 hat.
Das aber ist der Fall. Z.B. ist
a=0, [mm] b=\bruch{1}{3}, c=\bruch{4}{9}
[/mm]
eine solche Lösung. Es gibt viele weitere.
FRED
|
|
|
|
