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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | a) Seien A und B zwei Mengen
(i) Zeige, dass falls A gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] ist, und B endlich ist, dann ist A [mm] \cup [/mm] B gleichmätig zu [mm] \IN.
[/mm]
(ii) Zeige, dass falls A und B gleichmätig zu [mm] \IN [/mm] sind, dann ist A [mm] \cup [/mm] B gleichmätig zu [mm] \IN.
[/mm]
b) Jede der folgenden Mengen ist bijektiv entweder zu [mm] \IN [/mm] oder IR, entscheide jeweils zu welcher und begründe die Antwort:
(i) [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN
[/mm]
(ii) [mm] \IN [/mm] x [mm] \IQ
[/mm]
(iii) [mm] \mathcal{P}(\IN)
[/mm]
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Liebe MathematikerInnen,
wir haben jeweils eine Vorlesung in der Woche wo es um die axomatische Mengenlehre geht! Aber ich verstehe wirklich nicht. Dazu kommt, dass mir bis jetzt niemand ein Buch empfehlen konnt, wo ich solche Sachen nachlesen kann.
Jetzt kommt es, dass ich die obige Aufgabe zu lösen habe und nicht einmal einen Ansatz habe.
Kann mir trotzdem jemand helfen?
Vielen Dank
ps. habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> a) Seien A und B zwei Mengen
> (i) Zeige, dass falls A gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] ist, und B
> endlich ist, dann ist A [mm]\cup[/mm] B gleichmätig zu [mm]\IN.[/mm]
Du musst zeigen, dass es eine Bijektion [mm] $\phi:\IN\to A\cup [/mm] B$ gibt. In diesem Fall kannst du einfach eine konstruieren. Da $B$ endlich ist, können wir $B$ schreiben als
[mm] $$B=\{b_1,b_2,...,b_N\}$$ [/mm] A ist abzählbar, also gibt es eine Bijektion [mm]f:\IN\to A[/mm]. Wir setzen: [mm] $$\phi(n):=\begin{cases}b_n&\text{ falls }n\le N\\f(n-N)&\text{ sonst }\end{cases}$$
[/mm]
Zeige, dass diese Abbildung die gewünschten Eigenschaften hat.
> (ii) Zeige, dass falls A und B gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] sind,
> dann ist A [mm]\cup[/mm] B gleichmächtig zu [mm]\IN.[/mm]
Konstruiere auch hier eine Bijektion...
> b) Jede der folgenden Mengen ist bijektiv entweder zu [mm]\IN[/mm]
> oder IR, entscheide jeweils zu welcher und begründe die
> Antwort:
> (i) [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm]
> (ii) [mm]\IN[/mm] x [mm]\IQ[/mm]
Das cartesische Produkt zweier abzählbarer Mengen ist abzählbar ("erstes Cantorsches Diagonalargument"). (Ich nehme an du weißt bereits dass [mm] $\IQ$ [/mm] abzählbar ist)
> (iii) [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm]
Eine Menge kann niemals gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge sein, denn:
Angeonmmen es gäbe eine Surjektion [mm] $f:X\to\mathcal{P}(X)$, [/mm] so betrachte die Menge [mm] $M:=\{x\in X:x\not\in f(x)\}\in\mathcal{P}(X)$. [/mm] Da $f$ surjektiv ist, gibt es [mm] $\xi\in [/mm] X$ mit [mm] $f(\xi)=M$, [/mm] dann kann aber weder [mm] $\xi\in [/mm] M$ noch [mm] $\xi\not\in [/mm] M$ sein (!) - Widerspruch.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 16.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Robert,
vielen Dank für Deine Hilfe.
Aber noch eine Frage zu b) (iii) ich würde sagen nach dem Cantor-Theorem und Kontinuumshypothese, dass doch die Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] eine Bijektion zu [mm] \IR [/mm] ist, oder nicht?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Aber noch eine Frage zu b) (iii) ich würde sagen nach dem
> Cantor-Theorem und Kontinuumshypothese, dass doch die
> Potenzmenge von [mm]\IN[/mm] eine Bijektion zu [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist, oder nicht?
Du meinst sicherlich, dass es eine Bijektion $f:\mathcal{P}(\IN}\to\IR$ gibt. Das stimmt auch, folgt aber nicht aus den Cantor-Theorem. Vielmehr konstruiert man auch da eine konkrete Bijektion von $\mathcal{P}(\IN)$ auf $\IR$ - hat mit der p-adischen Darstellbarkeit reeller Zahlen zu tun.
Mit der Kontinuumshypothese würde ich vorsichtig sein, denn es gibt keinen vernünftigen Grund dessen Wahrheit oder Falschheit anzunehmen, da beides widerspruchsfrei zur "normalen" Mengenlehre ZFC bzw. GCH ist - abgesehen davon sehe ich auch hier nicht, wie daraus die Gleichmächtigkeit von $\mathcal{P}(\IN)$ und $\IR$ folgen soll, denn es könnte ja auch $\mathcal{P}(\IN)$ mächtiger als $\IR$ sein.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Aber noch eine Frage zu b) (iii) ich würde sagen nach dem
> Cantor-Theorem und Kontinuumshypothese, dass doch die
> Potenzmenge von [mm]\IN[/mm] eine Bijektion zu [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist, oder nicht?
Du meinst sicherlich, dass es eine Bijektion $f:\mathcal{P}(\IN}\to\IR$ gibt. Das stimmt auch, folgt aber nicht aus den Cantor-Theorem. Vielmehr konstruiert man auch da eine konkrete Bijektion von $\mathcal{P}(\IN)$ auf $\IR$ - hat mit der p-adischen Darstellbarkeit reeller Zahlen zu tun.
Mit der Kontinuumshypothese würde ich vorsichtig sein, denn es gibt keinen vernünftigen Grund dessen Wahrheit oder Falschheit anzunehmen, da beides widerspruchsfrei zur "normalen" Mengenlehre ZFC bzw. NBG ist - abgesehen davon sehe ich auch hier nicht, wie daraus die Gleichmächtigkeit von $\mathcal{P}(\IN)$ und $\IR$ folgen soll, denn es könnte ja auch $\mathcal{P}(\IN)$ mächtiger als $\IR$ sein. (Meinst du vielleicht die verallgemeinerte Kontinuumshypothese GCH?)
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Genau 
vielen lieben Dank
Gruss
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