Gleichmächtigkeit von Z und P < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Sei [mm]P:=\{x\in \IN|x\ ist\ eine\ Primzahl\}[/mm]
Ich soll beweisen, dass [mm]|\IZ|=|P|[/mm], weiß allerdings nicht so wirklich wie ich das machen soll.
Es ist ja eine bijektive Abbildung von [mm]f:\IZ\to P[/mm] zu finden, doch dort liegt ja gerade das Problem. Es existiert ja keine Bildungsvorschrift für Primzahlen, sonst gäbe es ja nicht diese aufwändigen Primzahlsuchen, bei denen die Zahlen noch getestet werden müssen.
Wie also finde icheine Bildungsvorschrift, mit welcher ich [mm]\IZ[/mm] auf [mm]P[/mm] abbilden kann?
Bitte erst einen Tip geben und nicht gleich die Lösung, es ist eine Übung für mich.
Gruß und Dank schonmal,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> Sei [mm]P:=\{x\in \IN|x\ ist\ eine\ Primzahl\}[/mm]
> Ich soll
> beweisen, dass [mm]|\IZ|=|P|[/mm], weiß allerdings nicht so wirklich
> wie ich das machen soll.
> Es ist ja eine bijektive Abbildung von [mm]f:\IZ\to P[/mm] zu
> finden, doch dort liegt ja gerade das Problem. Es existiert
> ja keine Bildungsvorschrift für Primzahlen, sonst gäbe es
> ja nicht diese aufwändigen Primzahlsuchen, bei denen die
> Zahlen noch getestet werden müssen.
> Wie also finde icheine Bildungsvorschrift, mit welcher ich
> [mm]\IZ[/mm] auf [mm]P[/mm] abbilden kann?
>
> Bitte erst einen Tip geben und nicht gleich die Lösung, es
> ist eine Übung für mich.
Zunächst einmal könntest du dir überlegen, dass [mm] $|\IP|\le|\IZ|$ [/mm] gilt.
Dann könntest du eine Funktion betrachten mit [mm] $\IN\to\IP$ [/mm] und [mm] $n\mapsto \mbox{n-te Primzahl}\in\IP$ [/mm] (warum gibt es überhaupt eine solche Funktion?)
Es müßte dann zum eigentlichen Beweis nicht mehr weit sein...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Marc.
Es kann doch eine solche Funktion gar nicht geben, sonst würde man doch nicht wie blöd nach Primzahlen suchen sondern sie einfach nach der Vorschrift bilden. Das verwundert mich ja eben an der Aufgabe.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> Es kann doch eine solche Funktion gar nicht geben, sonst
> würde man doch nicht wie blöd nach Primzahlen suchen
> sondern sie einfach nach der Vorschrift bilden. Das
> verwundert mich ja eben an der Aufgabe.
Diese Funktion gibt es auf jeden Fall, sie ist nur etwas umständlich für konkrete Werte zu berechnen. Du könntest mir doch ohne weiteres den Funktionswert von 1000, 10.000.000 etc. berechnen, oder nicht?
Es muß sie ja nur theoretisch geben, eine explizite Vorschrift ist nicht nötig.
Im wesentlichen reduziert sich [mm] $|\IZ|=|\IP|$ [/mm] auch nur auf den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, würde ich sagen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marc.
Nein, ich wüsste jetzt nicht, wie ich dir die 10.000.000 Primzahl berechnen sollte :-/
Und ja, der Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen ging dem als Voraufgabe voraus.
Dennoch hilft mir das nicht so toll.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno,
> Nein, ich wüsste jetzt nicht, wie ich dir die 10.000.000
> Primzahl berechnen sollte :-/
123.417.029
Du überprüfst nacheinander die Zahlen aus [mm] \IN [/mm] auf ihre Prim-Eigenschaft und hörst bei der 10.000.000-ten auf. Das Verfahren endet, weil es unendlich viele Primzahlen gibt und du irgendwann die 10.000.000-Marke erreicht hast.
> Und ja, der Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen ging
> dem als Voraufgabe voraus.
> Dennoch hilft mir das nicht so toll.
Jetzt?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Marc.
Hmm ok, dann eben theoretisch.
Und für die Menge der Ganzen Zahlen sag ich halt, dass für negative Zahlen [mm]-z[/mm] die [mm]2z[/mm]'te Primzahl gesucht wird und für [mm]z[/mm] die [mm]2z+1[/mm]'te.
Dann habe ich also eine theorewtische bijektive Abbildung.
Hmm ok, stimmt, ist ja eigenltich klar, dass zum Beweis keine explizite Bildungsvorschrift erforderlich ist.
Danke
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:55 So 15.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> Hmm ok, dann eben theoretisch.
> Und für die Menge der Ganzen Zahlen sag ich halt, dass für
> negative Zahlen [mm]-z[/mm] die [mm]2z[/mm]'te Primzahl gesucht wird und für
> [mm]z[/mm] die [mm]2z+1[/mm]'te.
Ja, du meinst, negative z werden auf die (2*(-z))-te Primzahl abgebildet, und alle anderen z auf die (2z+1)-te Primzahl.
Ja, ich denke, dass ist wasserfest.
Vielleicht ist aber vorher im Buch auch schon die Gleichmächtigkeit von [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ [/mm] gezeigt worden, dann könntest du auf die direkte Bijektion verzichten und sagen:
[mm] $|\IZ|=|\IN|, |\IP|=|\IN|\ \Rightarrow\ |\IP|=|\IZ|$
[/mm]
> Dann habe ich also eine theorewtische bijektive
> Abbildung.
>
> Hmm ok, stimmt, ist ja eigenltich klar, dass zum Beweis
> keine explizite Bildungsvorschrift erforderlich ist.
Schön, dass es jetzt klar ist.
Viele Grüße,
Marc
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