Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 14.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo,
ich bin irgendwie durcheinander gekommen bei der Konvergenz von Folgen.
Wenn wir eine konvergente Folge haben, dann konvergiert auch jede seine Teilfolge gegen gleichen Grenzwert.
Was ist mit dem Art von Konvergenz, wenn eine Folge punktweise konvergiert, können wir dann sagen, dass auch jede Teilfolge punktweise konvergiert? Und wenn die Folge [mm] (x_{k}) [/mm] _ {k [mm] \in \IN [/mm] } nicht gleichmäßig gegen x konvergiert, dann auch keine Teilfolge konvergiert gleichmäßig gegen x?
Ich wäre sehr dankbar für die Hilfe.
LG Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 14.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi,
schonmal vorweg: du scheinst die Konzepte 'Konvergenz von Folgen von (reellen) Zahlen' und 'Konvergenz von Funktionenfolgen' durcheinanderzuwerfen!
> Wenn wir eine konvergente Folge haben, dann konvergiert
> auch jede seine Teilfolge gegen gleichen Grenzwert.
Hier redest du von Konvergenz von Folgen, deren Glieder (reelle) Zahlen sind.
> Was ist mit dem Art von Konvergenz, wenn eine Folge
> punktweise konvergiert, können wir dann sagen, dass auch
> jede Teilfolge punktweise konvergiert? Und wenn die Folge
> [mm](x_{k})_{k \in \IN}[/mm] nicht gleichmäßig gegen x
> konvergiert, dann auch keine Teilfolge konvergiert
> gleichmäßig gegen x?
Hier redest du von Konvergenz von Funktionenfolgen, also Folgen, deren Glieder Funktionen sind.
Das mit den Teilfolgen gilt hier auch. Du kannst es genauso wie bei Folgen von (reellen) Zahlen schnell anhand der Definition sehen. (Bzw. bei punktweiser Konvergenz folgt es sogar direkt mit der Aussage.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 15.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Antwort.
Unsere Definition für gleichmäßige konvergenz lautet so:
fn konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn es für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle x aus Df und alle n ≥ N gilt:
|fn(x)- f(x)| < ε
Es ist mir sehr peinlich, aber ich sehe aus der Definition nicht, dass auch die Teilfolgen von fn gleichmäßig gegen f konvergieren würden.
Danke für Deine Hilfe,
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 15.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elena!
> Unsere Definition für gleichmäßige konvergenz lautet so:
> fn konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn es
> für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass
> für alle x aus Df und alle n ≥ N gilt:
> |fn(x)- f(x)| < ε
> Es ist mir sehr peinlich, aber ich sehe aus der Definition
Das muss dir nicht peinlich sein, in der Mathematik kommt es oft vor das man ab und zu einfach vor einem Berg steht, der unueberwindbar erscheint, und irgendwann wird man drauf was hingewiesen und ploetzlich ist alles klar 
> nicht, dass auch die Teilfolgen von fn gleichmäßig gegen f
> konvergieren würden.
Eine Teilfolge ist ja durch eine streng monoton steigende Funktion [mm] $\phi [/mm] : [mm] \N \to \N$ [/mm] gegeben. Insbesondere gilt also [mm] $\phi(n) \ge [/mm] n$.
Wenn du also ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] gegeben hast, nimmst du das $N$ welches auch zur normalen Folge gehoert. Fuer jedes $x$ im Definitionsbereich und jedes $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann [mm] $|f_{\phi(n)}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$, [/mm] da [mm] $\phi(n) \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$ ist. Also konvergiert auch die Teilfolge [mm] $f_{\phi(n)}, [/mm] n [mm] \in \N$ [/mm] gleichmaessig gegen $f$.
Siehst du es jetzt?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Do 16.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Alles klar.
Danke schön
LG Elena
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