Gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] sei die Funktion fn: [0,1] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x)=\bruch{nx}{1+(nx)^{2}} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm] (fn)n\in \IN [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
hier bin ich bei der punktweisen Konvergenz folgendermaßen vorgegangen:
1. Fall:
x = 0 -> fn(0) = [mm] \bruch{n0}{1+(n0)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
2. Fall:
0 < x < 1 -> fn(x) = [mm] \bruch{nx}{1+(nx)^{2}} {n\rightarrow\infty} [/mm] = 0, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] ]0,1[
3.Fall:
x=1 -> fn(1) = [mm] \bruch{n1}{1+(1n)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{1+n^{2}} {n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
Mit der gleichmäßigen Konvergenz habe ich meine Probleme. Ich kann mit der Definition nichts anfangen, geschweige denn die Funktion daraufhin überprüfen.
Wie gehe ich am besten an die Sache ran? Kann ich hier den Satz von Cantor anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 20.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
versuch doch einfach nach Definition vorzugehen und zu Zeigen, dass sup [mm] f_{n} [/mm] gegen 0 konvergiert. Dazu musst du das sup abschätzen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Hund,
erstmal Danke für deine Antwort.
Ich habe versucht das Supremum abzuschätzen und bin auf den Wert von sup = 0.5 gekommen. Stimmt das?
Wenn ich es richtig verstanden habe, bezeichnet das Supremum den größten Wert einer Menge. In diesem Fall liegt das Supremum auch selbst innerhalb der Menge, daher entspricht es hier auch dem Maximum. Kann man das so sagen?
Dazu noch eine Frage. Ich habe das Supremum (wenn es denn richtig ist) abgeschätzt indem ich Werte für n und x eingesetzt habe. Ist das so die richtige Vorgehensweise oder kann man das Supremum auch konkret berechnen?
Ok, nun zur gleichmäßigen Konvergenz. Ich habe folgende Definition gefunden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup x [mm] \in [/mm] D | fn(x) - f(x) | = 0
Mit f(x) ist die Grenzfunktion gemeint, richtig?
Aus der punktweisen Konvergenz folgt also:
f(x) = 0, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]
Für x habe ich nun 0.5 eingesetzt.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup x [mm] \in [/mm] D | fn(0.5) - f(0.5) | = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{0.5n}{1+(0.5n)^{2}} [/mm] - 0 | = 0
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Hallo!
> Ich habe versucht das Supremum abzuschätzen und bin auf den
> Wert von sup = 0.5 gekommen. Stimmt das?
Ich bin persönlich auf einen anderen Wert gekommen, aber ich könnte mich auch verrechnet haben. Vondemher wäre es wichtig, wenn du deinen Lösungsweg zeigen würdest, denn darauf kommt es an.
> Wenn ich es richtig verstanden habe, bezeichnet das
> Supremum den größten Wert einer Menge. In diesem Fall liegt
> das Supremum auch selbst innerhalb der Menge, daher
> entspricht es hier auch dem Maximum. Kann man das so
> sagen
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke der Menge. Falls das Supremum auf der Menge angenommen wird, stimmt es mit dem Maximum überein, das stimmt.
> Dazu noch eine Frage. Ich habe das Supremum (wenn es denn
> richtig ist) abgeschätzt indem ich Werte für n und x
> eingesetzt habe. Ist das so die richtige Vorgehensweise
Das ist grundsätzlich die richtige Vorgehensweise. Nur solltest du dir im Klaren sein, was du willst. Du willst eine Abschätzung für alle x erreichen, also solltest du die Funktionswerte in Abhängigkeit von x nach oben abschätzen. Kurzum solltest du das "x loswerden". Wie man das schafft ist unterschiedlich, in diesem Fall kann man aber tatsächlich relativ einfach das Supremum der Funktionswerte in Abhängigkeit von n bestimmen. Tipp: Suche nach Extremstellen (das klappt übrigendes bei vielen Übungsaufgaben)
> Ok, nun zur gleichmäßigen Konvergenz. Ich habe folgende
> Definition gefunden:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup x [mm]\in[/mm] D | fn(x) - f(x) | =
> 0
>
> Mit f(x) ist die Grenzfunktion gemeint, richtig?
Richtig und die Grenzfunktion kennst du ja schon...
> Aus der punktweisen Konvergenz folgt also:
>
> f(x) = 0, [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Für x habe ich nun 0.5 eingesetzt.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup x [mm]\in[/mm] D | fn(0.5) - f(0.5)
> | = 0
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{0.5n}{1+(0.5n)^{2}}[/mm] -
> 0 | = 0
Dein Vorgehen stimmt soweit. Nur ist mir rätselhaft, wie du darauf kommst, dass das Maximum immer bei 0,5 angenommen wird.
Gruß!
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Hallo subclasser,
danke für deine Antwort. Ich bin deinem Rat gefolgt und habe den Extrempunkt der Funktionenfolge bestimmt:
dazu erste Ableitung von fn(x) gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst:
f´(x) = [mm] \bruch{n-n^{3}x^{2}}{1+2n^{2}x^{2}+n^{4}x{4}} [/mm] = 0
n - [mm] n^{3}x^{2} [/mm] = 0
n = [mm] n^{3}x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{n}{n^{3}} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
x = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Also exisitert an der Stelle x= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ein Extrema...und siehe da, wenn ich für x in fn(x) [mm] \bruch{1}{n} [/mm] einsetze, erhalte ich [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]
Hier meine erste Frage: Stimmt meine Umformung ?
Ok nun zur gleichmäßigen Konvergenz:
Laut der Definition:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_f [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
muss es also für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N geben, so dass für alle x aus Df und alle n ≥ N gilt [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Meine zweite Frage: Was ist der Unterschied zwischen N und n?
Ich wähle mein x = [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Da meine Grenzfunktion f(x) = 0 ist, und [mm] fn(\bruch{1}{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] den Wert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hat, kann fn(x) nicht gleichmäßig konvergieren. Ich könnte ja z.B. Epsilon = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wählen.
Ist das so richtig? Wenn ja, wie schreibe ich das formal richtig auf?
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> f´(x) = [mm]\bruch{n-n^{3}x^{2}}{1+2n^{2}x^{2}+n^{4}x^{4}}[/mm] = 0
>
> [...]
>
> x = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Also exisitert an der Stelle x= [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ein
> Extrema...
Hallo,
ein Extremum. Eins zwei drei, viele Extrema.
> und siehe da, wenn ich für x in fn(x)
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] einsetze, erhalte ich [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Hier meine erste Frage: Stimmt meine Umformung ?
Genau. Bei x= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] hat [mm] f_n [/mm] für [mm] n\not=0 [/mm] einen Extremwert, und es ist [mm] f_n(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{2}
[/mm]
> Ok nun zur gleichmäßigen Konvergenz:
>
> Laut der Definition:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 \ [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \mathbb{N}[/mm] \
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in D_f[/mm] \ [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]\left|f_n(x)-f(x)\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> muss es also für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N geben, so dass
> für alle x aus Df und alle n ≥ N gilt
> [mm]\left|f_n(x)-f(x)\right|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Meine zweite Frage: Was ist der Unterschied zwischen N und
> n?
Dein N ist ein Schwellenwert. Du kannst und mußt hier eine konkrete Zahl angeben.
Und für alle Zahlen n, die größer als diese Schwelle sind, muß dann die genannte Eigenschaft gelten.
> Ich wähle mein x = [mm]\bruch{1}{n}.[/mm] Da meine Grenzfunktion
> f(x) = 0 ist, und [mm]fn(\bruch{1}{n})[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] den
> Wert [mm]\bruch{1}{2}[/mm] hat, kann fn(x) nicht gleichmäßig
> konvergieren. Ich könnte ja z.B. Epsilon = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wählen.
>
> Ist das so richtig?
Ja.
> Wenn ja, wie schreibe ich das formal
> richtig auf?
Du könntest schreiben:
[mm] f_n [/mm] konvergiert nicht glm. gegen f=0, denn
für [mm] \varepsilon:=\bruch{1}{4} [/mm] findet man kein [mm] N\in [/mm] N, so daß die Bedingung für glm. Konvergenz erfüllt ist, denn es ist
für alle [mm] n\ge [/mm] 1
[mm] |f_n(\bruch{1}{n})- f(\bruch{1}{n})|=|f_n(\bruch{1}{n})- 0|=|f_n(\bruch{1}{n})|=\bruch{1}{2} \not\le\bruch{1}{4}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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