Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Do 27.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] f_0(x):=\bruch{1}{4}*x(1+x) [/mm] und [mm] f_{n+1}(x):=f_0(f_n(x)) [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] und jedes n [mm] \in \IN. [/mm] Man zeige: Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_n(x) [/mm] konvergiert im Intervall I:=(-3, 3) punktweise, und sie konvergiert sogar gleichmäßig auf jedem Intervall [a, b] [mm] \subset [/mm] I. |
Hallo,
punktweise oder gleichmäßige Konvergenz nachzuweisen, ist eigentlich kein Problem, nur ist hier die Funktionenfolgen rekursiv definiert... Wie geht man da vor? Muss man erst einen geschlossenen Ausdruck für [mm] f_n(x) [/mm] entwickeln? Aber wie?
Über jeden Tipp wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 27.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Es sei [mm]f_0(x):=\bruch{1}{4}*x(1+x)[/mm] und
> [mm]f_{n+1}(x):=f_0(f_n(x))[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm] und jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
> Man zeige: Die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} f_n(x)[/mm]
> konvergiert im Intervall I:=(-3, 3) punktweise, und sie
> konvergiert sogar gleichmäßig auf jedem Intervall [a, b]
> [mm]\subset[/mm] I.
> Hallo,
> punktweise oder gleichmäßige Konvergenz nachzuweisen, ist
> eigentlich kein Problem, nur ist hier die Funktionenfolgen
> rekursiv definiert... Wie geht man da vor? Muss man erst
> einen geschlossenen Ausdruck für [mm]f_n(x)[/mm] entwickeln? Aber
> wie?
>
> Über jeden Tipp wäre ich sehr dankbar.
>
> Liebe Grüße
> kiri
Also,
wenn ich mich nicht vertan habe, st [mm] f_1(x)=\bruch{1}{64}(x^2+x)(x^2+x+4). [/mm] (Äußerst häßlich!) Das lässt sich zwar nach oben abschätzen, bringt aber wohl nichts.
Nächster Versuch: Für x=3 (zählt selbst nicht mehr zum betrachteten offenen Intervall) gilt [mm] f_1(x)=3, [/mm] dann [mm] f_2(x)=3 [/mm] usw.
Für |x|<3 ist die Folge [mm] f_n(x) [/mm] wohl fallend, schau mal, ob sich dann auf die Reihe das Quotientenkriterium oder ein anderes Konvergenzkriterium anwenden lässt.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 27.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
erstmal danke für deine schnelle Antwort.
Aber wie zeige ich z.B., dass die Folge monoton fallend ist? Ich müsste dann ja sowas wie [mm] f_{n+1}(x)
Vielen Dank.
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Fr 28.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> erstmal danke für deine schnelle Antwort.
> Aber wie zeige ich z.B., dass die Folge monoton fallend
> ist? Ich müsste dann ja sowas wie [mm]f_{n+1}(x)
> zeigen, wie mache ich das?
Für die Funktion [mm] $f_0$ [/mm] gilt (Aufmalen!):
[mm] -|x| \le f_0(x) \le |x| [/mm] für [mm] x\in (-3,3)[/mm].
Die Gleichheit tritt nur für x=0 ein.
Damit gilt auch $-3 < [mm] f_0(x) [/mm] <3 $ für [mm] $x\in [/mm] (-3,3)$.
Für [mm] $f_{n+1}(x) [/mm] = [mm] f_0(f_n(x)) [/mm] $ gilt dann:
[mm] -|f_n(x)| \le f_{n+1}(x) \le |f_n(x)| [/mm], falls [mm] -3 < f_n(x) < 3 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Guten Morgen,
okay...... Das ist soweit verständlich. Aber irgendwie habe ich keine Idee, was mir das jetzt bringt... Wieso könnte ich jetzt das Quotientenkriterium auf die Reihe anwenden? Könnte mir das jemand nochmal erklären?
Dankeschön.
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Fr 28.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen,
> okay...... Das ist soweit verständlich. Aber irgendwie
> habe ich keine Idee, was mir das jetzt bringt... Wieso
> könnte ich jetzt das Quotientenkriterium auf die Reihe
> anwenden? Könnte mir das jemand nochmal erklären?
>
Hallo Kiri,
ich verstehe deine Frage nicht ganz ("Wieso könnte....").
Ich denke, du willst die Aufgabe lösen - sprich, du willst die Konvergenz der Reihe nachweisen. Also musst du versuchen, irgendeins der bekannten Konvergenzkriterien (Leibnizkriterium, Wurzelkriterium, Angabe einer konvergenten Majorante, Quotientenkriterium...) anzuwenden.
Ich kann mich irren, aber das Quotientenkriterium scheint mir auf den ersten Blick erfolgsversprechender als die anderen.
Wenn du nicht mehr weißt, wie es geht, dann schau nach unter  Konvergenzkriterium.
Viele Grüße
Abakus
> Dankeschön.
>
> Grüße kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, sry.
Ja, das Quotientenkriterium ist mir bekannt, aber wie kann ich das denn hier anwenden? Ich habe doch gar keine geschlossene Darstellung für [mm] f_n(x).
[/mm]
Denn ich müsste ja entsprechend [mm] \bruch{f_{n+1}}{f_{n}} [/mm] abschätzen...
Versteht ihr mein Problem?
Grüße kiri
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> Ja, das Quotientenkriterium ist mir bekannt, aber wie kann
> ich das denn hier anwenden? Ich habe doch gar keine
> geschlossene Darstellung
Hallo,
fürs Quotientenkriterium braucht man doch nicht unbedingt die geschlossene Darstellung.
Wenn ich z.B. [mm] \summe a_n [/mm] betrachte und über [mm] a_n [/mm] weiß, daß [mm] |a_n|\not=0 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\bruch{1}{5}a_n, [/mm] komme ich ja prima zurecht mit dem Quotientenkriterium:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{\bruch{1}{5}a_n}{a_n}|=\bruch{1}{5}, [/mm] also ist meine Reihe konvergent.
> für [mm]f_n(x).[/mm]
> Denn ich müsste ja entsprechend [mm]\bruch{f_{n+1}}{f_{n}}[/mm]
> abschätzen...
>
> Versteht ihr mein Problem?
Jein.
[mm] |\bruch{f_{n+1}}{f_{n}}|=|\bruch{f_0{f_n}}{f_{n}}|=|\bruch{\bruch{1}{4}f_n(f_n+1)}{f_{n}}| [/mm] = [mm] |{\bruch{1}{4}(f_n+1)}| \le \bruch{1}{4}(1+|f_n|)
[/mm]
Nun würde [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] interessieren.
0, oder? Muß man bloß noch irgendwie zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
danke dir. Aber wenn der Grenzwert Null ist, versagt dann nicht das Kriterium?
Liebe Grüße
kiri
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> danke dir. Aber wenn der Grenzwert Null ist, versagt dann
> nicht das Kriterium?
???
Da war doch was, daß für die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] notwendig ist, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm] ??? =der nicht?
Fällt Dir eine einzige Reihe ein, deren Konvergenz Du mit dem Quotientenkriterium gezeigt hast, und bei der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n\not=0 [/mm] war?
Könnte es sein, daß das mit [mm] a_n\not=0 [/mm] verwechselst...
Gruß v. Angela
P.S.: Ist der GW =0? Konntest Du das zeigen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Sorry für das Fragen. Aber nochmal ganz langsam:
Ich möchte ja die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n(x) [/mm] zeigen. Da könnten wir jetzt zum Beispiel das Quotientenkriterium anwenden, bei dem wir aber zeigen müssen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f_{n+1}}{f_{n}}<1 [/mm] ist, korrekt?
Wir können doch aber nicht von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] auf die Konvergenz der Reihe schließen, denn das ist doch nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium... Oder was mache ich falsch?
Liebe Grüße und sorry für das viele Fragen ^^
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kiri!
Angela hat doch in ihrer Antwort eine Abschätzung für [mm] $\left|\bruch{f_{n+1}}{f_n}\right|$ [/mm] gezeigt mit:
[mm] $$\left|\bruch{f_{n+1}}{f_n}\right| [/mm] \ = \ ... \ < \ [mm] \bruch{1}{4}*\left(1+\left|f_n\right| \ \right)$$
[/mm]
Beim Quotientenkriterium müssen wir jedoch den Grenzwert [mm] $\red{\lim_{n\rightarrow\infty}}\left|\bruch{f_{n+1}}{f_n}\right|$ [/mm] betrachten und ermitteln.
Daher müssen / dürfen wir mit o.g. Abschätzung hier auch [mm] $\red{\lim_{n\rightarrow\infty}}\left[\bruch{1}{4}*\left(1+\left|f_n\right| \ \right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\left(1+\red{\lim_{n\rightarrow\infty}}\left|f_n\right| [/mm] \ [mm] \right)$ [/mm] betrachten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ahh okay. :) Den letzten Schritt hatte ich nicht bedacht. Danke für die Erklärung.
Dann werde ich mich mal versuchen. Danke euch.
Grüße kiri
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