Gleichmaeßige Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 14.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Hallo zusammen!
Sei [mm] s_{k}: [/mm] (0,1) [mm] \to \IR [/mm] eine Funktionenfolge und [mm] a_{k}\in \IR.
[/mm]
Wenn ich zeigen will, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k s_k(t) [/mm] gleichmaeßig konvergiert, genuegt es dann, zu zeigen, dass es fuer alle t [mm] \in [/mm] (0,1) und alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] m\in \IN [/mm] gibt mit
[mm] \summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ?
VG.
Jellal
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Hiho,
> Wenn ich zeigen will, dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k s_k(t)[/mm]
> gleichmaeßig konvergiert, genuegt es dann, zu zeigen, dass
> es fuer alle t [mm]\in[/mm] (0,1) und alle [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]m\in \IN[/mm]
> gibt mit
> [mm]\summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] ?
so formuliert: Nein.
Denn das impliziert, dass deine Wahl von $m$ von $t$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängen darf, d.h. es ist ein [mm] $m(t,\epsilon)$.
[/mm]
Meinst du hingegen, dass es für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] sein soll, so dass dann für alle $t [mm] \in [/mm] (0,1)$ gilt [mm]\summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| < \epsilon[/mm]
dann folgt daraus gleichmäßige Konvergenz.
Da würde sogar
[mm]\left|\summe_{k=m}^{\infty}a_k s_k(t)\right| < \epsilon[/mm] reichen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 14.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
danke dir!
> Meinst du hingegen, dass es für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]m \in \IN[/mm]
> sein soll, so dass dann für alle [mm]t \in (0,1)[/mm] gilt
> [mm]\summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| < \epsilon[/mm]
> dann folgt
> daraus gleichmäßige Konvergenz.
>
> Da würde sogar
> [mm]\left|\summe_{k=m}^{\infty}a_k s_k(t)\right| < \epsilon[/mm]
> reichen.
>
Ja, das meine ich!
Wie genau folgt daraus die gleichmaeßige Konvergenz? Ich habe nach einem Satz gesucht, aber keinen gefunden. Ist das trivial?
Ich wuerde gerne schreiben:
[mm] \epsilon [/mm] > [mm] \summe_{k=m}^{\infty} |a_k s_k| \ge |\summe_{k=m}^{\infty}a_k s_k| [/mm] = [mm] |\summe_{k=0}^{m-1}a_k s_k [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k s_k| [/mm] sodass rechts nun der eigentliche Ausdruck ist, den ich fuer gleichmaeßige Konvergenz durch [mm] \epsilon [/mm] abschaetzen muss. Aber das letzte = setzt ja schon voraus, dass ich weiß, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k s_k [/mm] existiert,oder?
Kann ich fuer eine beliebige, moeglicherweise divergente Reihe schreiben [mm] \sum_{k=0}^{\infty}b_k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{m}b_k [/mm] + [mm] \sum_{k=m+1}^{\infty}b_k [/mm] ?
Jellal
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Hiho,
> Ich wuerde gerne schreiben:
> [mm]\epsilon[/mm] > [mm]\summe_{k=m}^{\infty} |a_k s_k| \ge |\summe_{k=m}^{\infty}a_k s_k|[/mm]
> = [mm]|\summe_{k=0}^{m-1}a_k s_k[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k s_k|[/mm]
> sodass rechts nun der eigentliche Ausdruck ist, den ich
> fuer gleichmaeßige Konvergenz durch [mm]\epsilon[/mm] abschaetzen muss.
Korrekt soweit.
> Kann ich fuer eine beliebige, moeglicherweise divergente Reihe schreiben $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}b_k [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=0}^{m}b_k [/mm] $ + $ [mm] \sum_{k=m+1}^{\infty}b_k [/mm] $ ?
Machen wir die Frage mal zu erst: Wenn du mit "divergent" meinst, dass die [mm] $\pm\infty$ [/mm] sein kann, dann kannst du das machen, da auf der rechten Seite nur ein endlicher Wert (der Anfangsteil) mit einem anderen addiert wird.
D.h. das ganze Verhalten im unendlichen steckt im zweiten Summanden.
Die Frage ist ja: Was soll der Ausdruck $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}b_k [/mm] $ eigentlich gemäß Definition sein, wenn nicht mindestens [mm] $b_k \to [/mm] 0$ gilt?
Für [mm] $b_k \to [/mm] 0$ gilt obige Zerlegung aber immer…
> Aber das letzte = setzt ja schon voraus, dass ich
> weiß, dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k s_k[/mm] existiert,oder?
Naja, letztendlich macht der Ausdruck [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k s_k[/mm] nur Sinn, wenn er zumindest punkweise existiert.
Nichtsdestotrotz folgt aus deinem Kriterium ja sofort die Existenz, denn mit $ [mm] \summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $ folgt ja:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty |a_k s_k(t)| [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{m-1} |a_k s_k(t)| [/mm] + [mm] \summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| \le [/mm] c + [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
wobei $c := [mm] \sum_{k=1}^{m-1} |a_k s_k(t)| [/mm] < + [mm] \infty$ [/mm] auf jeden Fall ein endlicher Wert ist.
Aus der Endlichkeit von [mm] $\sum_{k=1}^\infty |a_k s_k(t)|$, [/mm] folgt auch sofort die Endlichkeit von [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k s_k(t)$.
[/mm]
Insofern ist das Kriterium dafür geeignet, die Existenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k s_k(t)$ [/mm] sicherzustellen als auch gleichmäßige Konvergenz über deine Ungleichungskette oben zu zeigen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:50 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Jellal |
> Nichtsdestotrotz folgt aus deinem Kriterium ja sofort die
> Existenz, denn mit [mm]\summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| < \epsilon[/mm]
> folgt ja:
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty |a_k s_k(t)| = \sum_{k=1}^{m-1} |a_k s_k(t)| + \summe_{k=m}^{\infty}|a_k s_k(t)| \le c + \epsilon < \infty[/mm]
>
> wobei [mm]c := \sum_{k=1}^{m-1} |a_k s_k(t)| < + \infty[/mm] auf
> jeden Fall ein endlicher Wert ist.
> Aus der Endlichkeit von [mm]\sum_{k=1}^\infty |a_k s_k(t)|[/mm],
> folgt auch sofort die Endlichkeit von [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k s_k(t)[/mm].
>
> Insofern ist das Kriterium dafür geeignet, die Existenz
> von [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k s_k(t)[/mm] sicherzustellen als auch
> gleichmäßige Konvergenz über deine Ungleichungskette
> oben zu zeigen.
Alles klar, das verstehe ich, danke dir!!
Habe bei der konkreten Abschaetzung in meinem Buch aber Probleme (technisch gesehen ist das eine vom Thread-Title unabhaengige Frage).
Ich konkretisiere:
Sei [mm] (a_k)_{k=0}^{\infty} [/mm] eine reelle Folge mit [mm] |a_k|\le Ck^{\delta} [/mm] fuer Konstanten C und 0 [mm] \le \delta<\bruch{1}{2}.
[/mm]
Seien die [mm] s_k [/mm] gegeben durch [mm] s_k(t)=\integral_{0}^{t}h_k(s)ds, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1, mit [mm] h_k [/mm] den Haar-Funktionen. Deren Definition scheint hier nicht wichtig zu sein. Entscheidend ist, dass fuer [mm] 2^{n}\le [/mm] k < [mm] 2^{n+1} [/mm] gilt: [mm] \max_{0 \le t \le 1}s_k(t)=\bruch{1}{2^{\bruch{n}{2}+1}} [/mm] und dass der Support der [mm] s_k [/mm] fuer jene k disjunkt ist (ist glaube ich auch nicht wichtig).
Weiter setzen wir [mm] b_n:=\max_{2^{n}\le k < 2^{n+1}} |a_k| \le C(2^{n+1})^{\delta}.
[/mm]
Ich will zeigen, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k s_k(t) [/mm] gleichmaeßig konvergiert.
Im Buch wird dafuer gezeigt, dass [mm] \sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| \le \epsilon [/mm] ist, und ich verstehe nun, dass das ausreicht.
Die Abschaetzung verstehe ich aber nicht:
[mm] \sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| \le \sum_{n=m}^{\infty}b_n \max_{2^{n}\le k < 2^{n+1}, t}|s_k(t)|
[/mm]
Ich komme nur auf:
[mm] \sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| [/mm] = [mm] \sum_{n=m}^{\infty} \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}|a_k||s_k| [/mm]
[mm] \le \sum_{n=m}^{\infty} \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} b_n \max_{2^{n}\le k < 2^{n+1}, t}|s_k(t)|
[/mm]
= [mm] \sum_{n=m}^{\infty} 2^n b_{n} \bruch{1}{2^{\bruch{n}{2}+1}}.
[/mm]
Aber durch den zusaetzlichen Term [mm] 2^{n} [/mm] fliegt mir die Summe dann um die Ohren =(
Wieso gilt die Abschaetzung im Buch?
VG.
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Hiho,
> Im Buch wird dafuer gezeigt, dass
> [mm]\sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| \le \epsilon[/mm] ist, und ich
> verstehe nun, dass das ausreicht.
Die Frage ist ja: Wie wird das gezeigt?
> Die Abschaetzung verstehe ich aber nicht:
> [mm]\sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| \le \sum_{n=m}^{\infty}b_n \max_{2^{n}\le k < 2^{n+1}, t}|s_k(t)|[/mm]
Na die Abschätzung ist ja trivial, damit kommt man aber auch nur auf
> = [mm]\sum_{n=m}^{\infty} 2^n b_{n} \bruch{1}{2^{\bruch{n}{2}+1}}.[/mm]
>
> Aber durch den zusaetzlichen Term [mm]2^{n}[/mm] fliegt mir die
> Summe dann um die Ohren =(
Korrekt, passiert bei mir auch.
> Wieso gilt die Abschaetzung im Buch?
Das musst du die Buchautoren fragen.
Mit den von dir gegebenen Voraussetzungen komme ich auch nur auf
[mm]\sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| \le \tilde{C}\sum_{n=m}^\infty \left(2^{\frac{1}{2} + \delta}\right)^n[/mm]
Und da [mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \delta [/mm] > 0$ divergiert die Summe…
Ohne das [mm] 2^n [/mm] hätte man stattdessen [mm] $-\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \delta [/mm] < 0$ und alles wäre tutti.
Sehe da aber auch nicht, wie man schwächer abschätzen könnte…
edit: Um welches Buch handelt es sich denn und wo steht das dort?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
es handelt sich um "An Introduction to Stochastic Differential Equations" von L.C. Evans.
Ich schicke dir das Kapitel mal als PDF.
Jellal
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Hiho,
also, der Knackpunkt liegt hier tatsächlich in einem Fakt, den du bezeichnet hast als
> (ist glaube ich auch nicht wichtig).
nämlich:
> und dass der Support der [mm]s_k[/mm] fuer jene k disjunkt ist
Im Übrigen heißen die [mm] $s_k$ [/mm] dann Schauderfunktionen, das ist für den Beweis viel wichtiger, als wie sie erzeugt werden 
Dass sie disjunkten Support haben, ist wichtig, denn dadurch verschwindet dein Faktor [mm] $2^n$, [/mm] warum?
> Ich komme nur auf:
> [mm]\sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k| = \sum_{n=m}^{\infty} \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}|a_k||s_k|[/mm]
das stimmt zwar, aber jetzt kommt ins Spiel, dass die [mm] $s_k$ [/mm] disjunkten Support für [mm] 2^n \le [/mm] k < [mm] 2^{n+1}$ [/mm] haben.
Für jedes $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ ist eben nur noch genau ein Summand aus der Summe [mm]\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}|a_k||s_k|[/mm] ungleich Null, alle anderen fallen weg.
D.h. anstatt der gesamten Summe steht eben immer nur ein Summand da.
Man könnte das beispielsweise schreiben als [mm]\sum_{k=2^m}^{\infty}|a_k||s_k(t)| = \sum_{n=m}^{\infty} \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}|a_k||s_k(t)| = \sum_{n=m}^{\infty} |a_{k_t}||s_{k_t}(t)|[/mm] mit [mm] $k_t$ [/mm] so dass [mm] $s_{k_t}(t) \not=0$ [/mm] für [mm] $2^n \le k_t [/mm] < [mm] 2^{n+1}$.
[/mm]
Aufgrund der Disjunktheit ist das [mm] $k_t$ [/mm] dann für jedes $n$ und $t$ eindeutig bestimmt.
Nun weiter wie von dir beschrieben und du kommst auf das gewünschte Ergebnis.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Brillant! Da waer ich definitiv nicht drauf gekommen, obwohl ich mich schon gefragt hatte, warum die Disjunktheit so hervorgehoben wurde...
Danke dir wieder mal Gono!
Jellal
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Mi 17.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Eine weitere Frage zu dem Thema, bei der ich glaube, dass die Disjunktheit der [mm] s_k [/mm] eine Rolle spielt.
Ich setze voraus, dass fuer unabhaengige [mm] A_k \sim \mathca{N}(0,1) [/mm] der Prozess W(t):= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}A_k s_{k}(t) [/mm] fuer [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 ein Wiener Prozess ist.
Nun will ich den Prozess auf alle [mm] t\ge [/mm] 0 erweitern.
Das kann man anscheinend tun, indem man zu dem Prozess W(t) abzaehlbar-unendlich viele weitere Wiener-Prozesse [mm] W_n(t) [/mm] wie oben definiert, wobei jeder davon durch Re-Indizierung der [mm] A_k [/mm] zustande kommt. Die entsprechenden [mm] W_n [/mm] sind dann unbhaengig.
Letzteres verstehe ich nicht ganz. Wenn ich eine Summe ueber abzaehlbare Zufallsvariablen habe, und diese dann umordne, dann erhalte ich erst mal noch keine neue Zufallsvariable.
Wenn fuer festes [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 aber gilt, dass fuer [mm] 2^n \le [/mm] k < [mm] 2^{n+1} [/mm] alle bis auf ein [mm] s_k(t)=0 [/mm] sind, dann ist klar, dass zu jedem Zeitpunkt t nur eine abzaehlbar-unendliche echte Teilmenge der [mm] A_k [/mm] in der Summe oben "aktiv" ist.
Wenn ich nun also um-indiziere, sodass mindestens eins der "aktiven" [mm] A_k [/mm] oben mit einem "inaktiven" ausgetauscht wird, dann erhalte ich einen neuen Prozess [mm] W_1, [/mm] sodass [mm] W_1(t) [/mm] unabhaengig von W(t) ist.
Oder muessen alle "aktiven" [mm] A_k [/mm] ausgetauscht werden?
Und kann es dann nicht passieren, dass [mm] W(t_1) [/mm] abhaengig wird von [mm] W(t_2) [/mm] fuer [mm] t_1 \not= t_2 [/mm] ?
VG.
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Hiho,
du hast das Prinzip der Konstruktion nicht verstanden.
Es wird angenommen, es gibt abzählbar viele unabhängige [mm] $A_k$.
[/mm]
Nun willst du daraus abzählbar viele unabhängige Brownsche Bewegungen [mm] $(W_n)_{n\in\IN}$ [/mm] jeweils auf $[0,1]$ konstruieren.
Da wir für jedes [mm] $W_n$ [/mm] eine abzählbare Menge der [mm] $A_k$ [/mm] benötigen, ist es intuitiv erst mal nicht klar, ob unsere abzählbar vielen [mm] $A_k$ [/mm] dafür überhaupt ausreichen. Denn wir bräuchten ja "abzählbar mal abzählbar" viele [mm] $A_k$. [/mm]
Sind das zu viele oder "reichen" unsere [mm] $A_k$ [/mm] dafür aus?
Ergebnis: Die [mm] $A_k$ [/mm] reichen dafür aus, dies kann man durch Re-Indizierung zeigen.
d.h. man kann die [mm] $A_k$ [/mm] so umindizieren, dass man nun welche der Form [mm] $A_{i,k}$ [/mm] bekommt, wobei der Index $i$ für die Brownscher Bewegung steht (d.h. [mm] $A_{i,k}$ [/mm] wird für die Konstruktion von [mm] $W_i$ [/mm] verwendet) und der Index $k$ für den Summenindex (d.h. [mm] $A_{i,k}$ [/mm] wird als $k$-tes $A$ in [mm] $W_i$ [/mm] benutzt).
Noch immer gilt: Alle [mm] $A_{i,k}$ [/mm] sind unabhängig! Insbesondere sind damit die [mm] $W_i$ [/mm] alle unabhängig.
Nun definiert man rekursiv die Brownsche Bewegung für $t [mm] \ge [/mm] 0$ als:
$W(t) = W(n-1) + [mm] W_n(t [/mm] - (n-1))$ für $n-1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] n$
Man "klebt" also sozusagen die konstruierten Brownschen Bewegungen immer zusammen, anders aufgeschrieben:
[mm] $W(t)=\begin{cases} W_0(t), & \mbox{für } t \in [0,1] \\ W_0(1) + W_1(t), & \mbox{für } t \in [1,2] \\ W_0(1) + W_1(2) + W_2(t), & \mbox{für } t \in [2,3] \\ \vdots & \vdots \end{cases}$
[/mm]
> Und kann es dann nicht passieren, dass $ [mm] W(t_1) [/mm] $ abhaengig wird von $ [mm] W(t_2) [/mm] $ fuer $ [mm] t_1 \not= t_2 [/mm] $ ?
Ja, das wird sogar ganz sicher passieren.
Bei einer Brownschen Bewegung ist das aber gar kein Problem… schau dir nochmal die Definition der Brownschen Bewegung an.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 17.05.2023 | | Autor: | Jellal |
> Hiho,
>
> du hast das Prinzip der Konstruktion nicht verstanden.
> Es wird angenommen, es gibt abzählbar viele unabhängige
> [mm]A_k[/mm].
>
> Nun willst du daraus abzählbar viele unabhängige
> Brownsche Bewegungen [mm](W_n)_{n\in\IN}[/mm] jeweils auf [mm][0,1][/mm]
> konstruieren.
>
> Da wir für jedes [mm]W_n[/mm] eine abzählbare Menge der [mm]A_k[/mm]
> benötigen, ist es intuitiv erst mal nicht klar, ob unsere
> abzählbar vielen [mm]A_k[/mm] dafür überhaupt ausreichen. Denn
> wir bräuchten ja "abzählbar mal abzählbar" viele [mm]A_k[/mm].
>
> Sind das zu viele oder "reichen" unsere [mm]A_k[/mm] dafür aus?
>
> Ergebnis: Die [mm]A_k[/mm] reichen dafür aus, dies kann man durch
> Re-Indizierung zeigen.
>
Ok, aber das muss streng genommen erst mal gezeigt werden und ist nicht trivial klar, oder?
>
> Noch immer gilt: Alle [mm]A_{i,k}[/mm] sind unabhängig!
> Insbesondere sind damit die [mm]W_i[/mm] alle unabhängig.
Ja, wenn ich weiß, dass die Mengen [mm] \{A_{i,k}\} [/mm] und [mm] \{A_{j,k}\} [/mm] fuer [mm] j\not= [/mm] i disjunkt sind, ist mir klar, dass [mm] W_i [/mm] und [mm] W_j [/mm] unabhaengig sind.
> Nun definiert man rekursiv die Brownsche Bewegung für [mm]t \ge 0[/mm]
> als:
>
> [mm]W(t) = W(n-1) + W_n(t - (n-1))[/mm] für [mm]n-1 \le t \le n[/mm]
>
> Man "klebt" also sozusagen die konstruierten Brownschen
> Bewegungen immer zusammen, anders aufgeschrieben:
>
> [mm]W(t)=\begin{cases} W_0(t), & \mbox{für } t \in [0,1] \\ W_0(1) + W_1(t), & \mbox{für } t \in [1,2] \\ W_0(1) + W_1(2) + W_2(t), & \mbox{für } t \in [2,3] \\ \vdots & \vdots \end{cases}[/mm]
>
> > Und kann es dann nicht passieren, dass [mm]W(t_1)[/mm] abhaengig
> wird von [mm]W(t_2)[/mm] fuer [mm]t_1 \not= t_2[/mm] ?
> Ja, das wird sogar ganz sicher passieren.
> Bei einer Brownschen Bewegung ist das aber gar kein
> Problem… schau dir nochmal die Definition der Brownschen
> Bewegung an.
Sorry, ich meinte
"Kann [mm] W_i(t_1) [/mm] nicht abhengig werden von [mm] W_j(t_2)?"
[/mm]
Aber wenn die Mengen der [mm] A_{i,k} [/mm] fuer unterschiedliche i disjunkt sind, duerfte das nicht passieren.
Und selbst wenn, ueberlege ich gerade, ob das nicht auch kein Problem waere.
Bei der Brownschen Bewegung muessen aufeinander folgende Inkremente unabhaengig sein, aber mehr auch nicht.
VG.
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Hiho,
> Ok, aber das muss streng genommen erst mal gezeigt werden
> und ist nicht trivial klar, oder?
streng genommen: Ja.
Aber bei einem gewissen Grad der mathematischen Vorbildung, sollte man einfach wissen, dass alle abzählbar unendlichen Mengen sich bijektiv aufeinander abbilden lassen, dann ist die Aussage trivial.
Bei einer Umindizierung zwischen [mm] $A_j$ [/mm] und [mm] $A_{j,k}$ [/mm] ist dafür ja "nur" eine Bijektion zwischen [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] notwendig, beides abzählbar unendliche Mengen und daher existiert diese Bijektion (die man hier sogar angeben könnte).
> Ja, wenn ich weiß, dass die Mengen [mm]\{A_{i,k}\}[/mm] und
> [mm]\{A_{j,k}\}[/mm] fuer [mm]j\not=[/mm] i disjunkt sind, ist mir klar, dass
> [mm]W_i[/mm] und [mm]W_j[/mm] unabhaengig sind.
Die [mm] $A_{j,k}$ [/mm] sind keine Mengen, sondern Zufallsvariablen… und die sollen auch nicht disjunkt sein, sondern unabhängig.
> Sorry, ich meinte
> "Kann [mm]W_i(t_1)[/mm] nicht abhengig werden von [mm]W_j(t_2)?"[/mm]
> Aber wenn die Mengen der [mm]A_{i,k}[/mm] fuer unterschiedliche i
> disjunkt sind, duerfte das nicht passieren.
unabhängig!
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 18.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
die [mm] A_{i,k} [/mm] sind natuerlich unabhengige ZVs, aber die bilden doch eine Menge.
Was ich meinte war, dass die Menge der [mm] A_{i}, [/mm] die fuer den k-ten Prozess benoetigt wird, disjunkt sein muss zu der Menge der [mm] A_{i}, [/mm] die fuer einen anderen Prozess benutzt wird.
Durch das, was du zur Bijektion zwischen abzaehlbar-unendlichen Mengen gesagt hast, scheint das aber gegeben.
Dann ist mir denke ich alles klar! Danke dir!
Erwarte noch weitere Fragen von mir, ich arbeite mich gerade durch das Buch ^^"
VG
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