Gleichmäßige Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Bekanntlich konvergiert die Exponentialreihe überall. Beweisen Sie, dass es sich aber nicht um eine gleichmäßig konvergente Reihe handelt. |
Guten Tag,
also mir ist wie schon oben erwähnt bekannt, das die Exponentialreihe gegen die Exponentialfunktion konvergiert.
Was mich nun verwirrt ist, wir haben bis jetzt immer Funktionenfolgen betrachtet und an diesen die gleichmäßige Konvergenz gezeigt. Nun hier haben wir eine Reihe, keine Funktionenfolge. Wie geht man in diesem Fall vor?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Die n-te Partialsumme der Exponentialreihe ist
[mm] $f_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Zeigen sollst Du: die Folge [mm] (f_n) [/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] nicht gleichmäßig konvergent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Also ist zu zeigen : [mm] \exists \varepsilon [/mm] >0 [mm] \forall n_{0} \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge n_{0}, [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] | [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] | [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
So korrekt?
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Huhu,
> Also ist zu zeigen : [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0 [mm]\forall n_{0} \in \IN \exists[/mm]
> n [mm]\ge n_{0},[/mm] x [mm]\in \IR:[/mm] | [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> - [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm] | [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> So korrekt?
jo, auch wenn ich nen Quantor mehr vors x machen würde.
Aber schwer ist das auch nicht zu zeigen, wenn du dir überlegst, dass für nichtnegative x gilt:
[mm] $\left|\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} - \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} \ge \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Antwort. Wie ist das nun... kann ich z.B als x = (n+1)! wählen und [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{10}. [/mm] Dann wäre [mm] ((n+1)!)^{n+1} \ge \bruch{(n+1)!}{10} [/mm] was ja offensichtlich stimmt. Wäre damit der Beweis schon komplett?
LG Loriot95
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Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort. Wie ist das nun... kann ich
> z.B als x = (n+1)! wählen und [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{10}.[/mm]
> Dann wäre [mm]((n+1)!)^{n+1} \ge \bruch{(n+1)!}{10}[/mm] was ja
> offensichtlich stimmt. Wäre damit der Beweis schon
> komplett?
Das x sollte nicht am Anfang in Abhängigkeit von n gewählt werden.
So wird m.E. nicht richtig klar, dass es für das gewählte [mm] \varepsilon>0 [/mm] für alle [mm] n_0\in\IN [/mm] ein [mm] n\geq n_0 [/mm] gibt mit [mm] $\left|\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}\right| \ge \varepsilon [/mm] $ für ein [mm] x\in\IR
[/mm]
Hier ist eine Variante:
Sei [mm] \varepsilon=1.
[/mm]
Angenommen es gibt ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] $\left|\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}\right| [/mm] <1$ für [mm] n\geq n_0 [/mm] und alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Nun setze [mm] x:=n_0+1 [/mm] und [mm] n:=n_0
[/mm]
Dann ist offensichtlich [mm] $\left|\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}\right|=\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}\geq\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}\geq1, [/mm] Widerspruch
>
> LG Loriot95
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Danke für eure Hilfe. Ich denke ich habe es nun verstanden :)
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