Gleichmäßige Konvexität der Norm und äquivalente Normen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:38 Mi 12.05.2004 | | Autor: | majorlee |
hi,
sitze im moment am übungsblatt und komme bei zwei aufgaben irgendwie nicht auf die lösung...
also zum einen gibt es ja diese formel [mm]\delta[/mm]-[mm]\epsilon[/mm]-definition zur gleichmäßigen konvexität von normen:
Für alle [mm] \epsilon \in(0,2) [/mm] existiert ein [mm] \delta \in(0,1) [/mm] sodass für alle [mm] x,y\inV [/mm] gilt: [mm] \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}y\end{Vmatrix}=1, \begin{Vmatrix}x-y\end{Vmatrix}\ge \epsilon\Rightarrow \bruch{1}{2}\begin{Vmatrix}x+y\end{Vmatrix}\le 1-\delta.
[/mm]
kann das jemand beweisen?
und die andere aufgabe wäre:
man soll zeigen, dass
[mm] \begin{Vmatrix}u\end{Vmatrix}_\infty:=max_x_\in_[_0_,_1_]|u(x)| [/mm] und [mm] \begin{Vmatrix}u\end{Vmatrix}_2:=\left\{\integral_{0}^{1}|u(x)|^2dx\right\}^\bruch{1}{2} [/mm] im Raum [mm] V=C[0,1]=\left\{u(.)|u:[0,1]\rightarrow\IR stetig\right\} [/mm] nicht äquvalent sind.
wäre echt super, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet... =)
wäre auch über eine aufgabe superglücklich...
danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo majorlee,
willkommen im Matheraum! 
> hi,
> sitze im moment am übungsblatt und komme bei zwei aufgaben
> irgendwie nicht auf die lösung...
Aber ein paar eigene Ansätze wäre schon nicht schlecht. Wir sind keine Lösungsmaschine!
> also zum einen gibt es ja diese formel
> [mm]\delta[/mm]-[mm]\epsilon[/mm]-definition zur gleichmäßigen konvexität von
> normen:
> Für alle [mm] \epsilon \in(0,2) [/mm] existiert ein [mm] \delta \in(0,1) [/mm]
> sodass für alle [mm] x,y\inV [/mm] gilt:
> [mm] \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}y\end{Vmatrix}=1, [/mm]
> [mm] \begin{Vmatrix}x-y\end{Vmatrix}\ge \epsilon\Rightarrow [/mm]
> [mm] \bruch{1}{2}\begin{Vmatrix}x+y\end{Vmatrix}\le 1-\delta.
[/mm]
> kann das jemand beweisen?
Das kann man nicht beweisen. Das ist eine Definition. Und nicht jede Norm ist gleichmäßig konvex, zum Beispiel die [mm]l^1[/mm]-Norm nicht.
Also, wie lautet die genaue Aufgabenstellung? Für welche Norm genau sollt ihr die gleichmäßige Konvexität (die im übrigen die strikte Konvexität impliziert) nachweisen?
> und die andere aufgabe wäre:
> man soll zeigen, dass
>
> [mm] \begin{Vmatrix}u\end{Vmatrix}_\infty:=max_x_\in_[_0_,_1_]|u(x)| [/mm]
> und
> [mm] \begin{Vmatrix}u\end{Vmatrix}_2:=\left\{\integral_{0}^{1}|u(x)|^2dx\right\}^\bruch{1}{2} [/mm]
> im Raum [mm] V=C[0,1]=\left\{u(.)|u:[0,1]\rightarrow\IR [/mm]
> [mm] stetig\right\} [/mm] nicht äquvalent sind.
Das ist nicht so schwierig. Ich führe dich zur Lösung.
Angenommen, es gäbe ein [mm]0 < C < +\infty[/mm], so dass für alle [mm]u \in C[0,1][/mm] die folgende Ungleichung wahr wäre:
[mm]\Vert u \Vert_{\infty} \le C \cdot \Vert u \Vert_2[/mm].
Definiere nun [mm]u \in C[0,1][/mm] wie folgt:
[mm]u(x) = \left\{ \begin{array}{ccccc} C & , & \mbox{falls} & 0 \le x \le \frac{\varepsilon}{2} & ,\\ -\frac{2C}{\varepsilon} x+2C & , & \mbox{falls} & \frac{\varepsilon}{2} < x \le \varepsilon & , \\ 0 & , & \mbox{falls}& \varepsilon< x \le 1& . \end{array} \right.[/mm]
Welcher Widerspruch ergibt sich nun, wenn man [mm]\varepsilon>0[/mm] klein genug wählt?
Versuche das bitte mal selber herauszufinden, indem du die beiden Normen von [mm]u(x)[/mm] berechnest bzw. abschätzt. Melde dich dann mit einem eigenen Lösungsvorschlag, den wir kontrollieren können.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mi 12.05.2004 | | Autor: | majorlee |
hi,
hm, das mit der definition habe ich mir auch gedacht, weil es auch so in den büchern drinsteht, aber auf dem aufgabenblatt steht tatsächlich: "zeigen sie..." und dann diese [mm] \epsilon-\delta-definition... [/mm] versteh die aufgabe auch nicht...
und zu der anderen aufgabe:
danke, für den hinweis, aber wie kommt man auf sowas bitte? naja, bin gerade am rumtüfteln, werde mich später noch mal melden... =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
zur ersten Aufgabe: Wahrscheinlich ist hier mit [mm] $\Vert \, \cdot \, \Vert$ [/mm] eine ganz spezielle Norm gemeint. Bitte, tippe doch mal die genaue Aufgabenstellung ab. Oder gibt es einen Link zu dem Übungszettel?
Zur zweiten Aufgabe: Naja, man muss sich eine Funktion basteln, die ein großes Maximum, aber eine kleine Fläche unter dem Graphen hat. Da ist es doch naheliegend, sie hoch anfangen zu lassen und dann ganz, ganz schnell (am einfachsten linear) auf 0 zu schneißen. Man musste [mm]C[/mm] dabei nicht als Maximum wählen, das habe war im Prinzip überflüssig, hier hätte man auch jede andere Konstante (z.B. [mm]1[/mm]) nehmen können.
Melde dich mal mit einem Vorschlag und mit der ganz genauen Aufgabenstellung der ersten Aufgabe, am besten mit einem Link darauf. Notfalls: Scanne den Zettel ein und stelle ihn als Grafik hier ins Forum.
Liebe Grüße
Julis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 12.05.2004 | | Autor: | majorlee |
ach du kacke, es stand doch etwas da (bin irgendwie ein wenig verpeilt im moment... =)
es geht um einen euklidischen vektorraum mit skalarprodukt <.,.> und der dazugehörigen norm, also denke ich mal [mm] \wurzel{}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mi 12.05.2004 | | Autor: | majorlee |
achso, JETZT verstehe ich es... =)
oh mann, manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht... =) aber das ist in mathe ja öfter so. danke auf jeden fall! =)
also, mein lösungsvorschlag wäre hiermit:
[mm]\Vert x+y\Vert^2 + \Vert x-y\Vert^2=2(\Vert x\Vert^2+\Verty y\Vert^2)[/mm] (Parallelogramm-Relation)
da nach vorausssetzung [mm]\Vert x\Vert=\Vert y\Vert=1[/mm] ist, kann man schreiben:
[mm]\Vert x+y\Vert^2 + \Vert x-y\Vert^2=4[/mm]
[mm]\gdw \Vert x+y\Vert^2 = 4-\Vert x-y\Vert^2 \le 4-\epsilon^2[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{2}\Vert x+y\Vert \le \bruch{\wurzel{4-\epsilon^2}}{2}[/mm]
usw.
der rest ergibt sich dann...
ok, habs kapiert =)
vielen dank nochmal =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 12.05.2004 | | Autor: | majorlee |
so, ich glaube, ich blick langsam durch (auch, was überhaupt gefragt ist... =):
also, wenn ich deine funktion betrachte und die norm [mm]\begin{Vmatrix}*\end{Vmatrix}_\infty[/mm] bilde, dann kommt einfach C raus, bei der norm [mm]\begin{Vmatrix}*\end{Vmatrix}_2[/mm] (soweit ich richtig gerechnet habe) [mm]\wurzel{\bruch{\epsilon}{2}}*C[/mm] raus, oder?
und bezogen auf die behauptung [mm]\Vert u \Vert_{\infty} \le C \cdot \Vert u \Vert_2[/mm] wäre das ein widerspruch, weil die ungleichung [mm] C \le C*\wurzel{\bruch{\epsilon}{2}}*C = \wurzel{\bruch{\epsilon}{2}}*C^2[/mm] nicht mehr erfüllt ist, wenn man [mm] \epsilon [/mm] sehr klein wählt... stimmt das so? oder bin ich ganz falsch? wenns richtig ist, dann glaube ich, dass ich das ganze ein wenig verstanden habe, ansonsten... nicht =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 12.05.2004 | | Autor: | majorlee |
ok, hab mir noch mal gedanken gemacht, komme aber irgendwie nicht aufn grünen zweig:
also:
ich habe mal deinen rat beherzigt und die normen gebildet.
für [mm] \Vert u \Vert_\infty[/mm] ist es ja ganz einfach, nämlich [mm] C [/mm] , right?
und für [mm] \Vert u \Vert_2[/mm] muss ich ja dann das integral [mm] \{ \integral_{0}^{1} |u(x)|\, dx \}^\bruch{1}{2} [/mm] bilden, oder? das heißt, ich trenne das intervall bei [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] und bei [mm] \epsilon [/mm]. wenn ich das mache, bekomme ich für [mm] 0 [/mm] bis [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] [mm] C^2*\bruch{\epsilon}{2} [/mm], und von [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] bis [mm] \epsilon [/mm] [mm] C^2*\bruch{1}{6} [/mm] und für [mm] \epsilon [/mm] bis [mm] 1 [/mm] dann [mm] 0 [/mm] raus.
für [mm] \Vert u \Vert_2[/mm] kommt also insgesamt raus: [mm] C*\wurzel{\bruch{2*\epsilon}{3}} [/mm] raus.
wenn ich das jetzt in die behauptung [mm] \Vert u \Vert_\infty \le C*\Vert u \Vert_2[/mm] einsetze bekomme ich dann: [mm] C \le C^2*\wurzel{\bruch{2*\epsilon}{3}} [/mm].
aber worin genau liegt dann der widerspruch?
ich könnte noch durch [mm] C [/mm] dividieren und dann umformen, dann hätte ich einfach [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}} \le C*\wurzel{\epsilon}. [/mm] sage ich jetzt, ich wähle das [mm] \epsilon [/mm] sehr klein, dann wähle ich halt einfach das [mm] C [/mm] groß, oder nicht?
oder habe ich's jetzt ganz falsch gemacht? =(
und wenn ich ganz ehrlich bin, ist mir noch nicht ganz klar, was ich jetzt eigentlich genau damit gezeigt habe... was bedeutet es denn eigentlich, dass man zeigen soll, dass diese zweiernorm und die unendlich-norm äquivalent sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Do 13.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo majorlee (weiblich oder männlich?),
das Vorgehen ist richtig. Ob das Integral richtig berechnet ist, weiß ich gerade nicht. Wir wollen es aber auch gar nicht berechnen, sondern ich werde es gleich abschätzen.
Also: Zunächst einmal:
Zwei Normen [mm] $\Vert\, \cdot \, \Vert_1$ [/mm] und [mm] $\Vert\, \cdot \, \Vert_2$ [/mm] auf einem Vektorraum $V$ heißen äquivalent, wenn es zwei Konstanten [mm]0 alle $x [mm] \in [/mm] V$ die folgende Ungleichung gilt:
(*) [mm]c\cdot \Vert x \Vert_2\le \Vert x \Vert_1 \le C \cdot \Vert x \Vert_2[/mm].
Es genügt also nicht, für jedes [mm]x[/mm] ein [mm]c[/mm] und ein [mm]C[/mm] zu finden, sondern man muss ein [mm]c[/mm] und ein [mm]C[/mm] finden, so dass (*) für alle [mm]x \in V[/mm] wahr ist.
Ich behaupte jetzt für unsere Aufgabe, dass es solche Konstanten nicht gibt. Genauer behaupte ich, dass es eine der beiden Konstanten nicht gibt. Dazu nehme ich das Gegenteil an (das Gegenteil ist ja: es gibt eine solche Konstante) und führe diese Annahme zum Widerspruch.
Also: Wir nehmen an, es gäbe eine Konstante [mm]0 < C < + \infty[/mm] mit
[mm]\Vert u \Vert_{\infty} \le C \cdot \Vert u \Vert_2[/mm]
für alle [mm]u \in V[/mm]. [mm]C[/mm] ist jetzt für alle Zeiten fest, daran kann nicht mehr gerüttelt werden.
Um einen Widerspruch herzuleiten, muss ich eine Funktion [mm]u \in V[/mm] finden, so dass diese Ungleichung nicht gilt.
Dazu überlege ich mir, was gelten muss: Das Maximum sollte möglichst groß und das Integral möglichst klein sein.
Dadurch bin ich auf die Funktion
[mm]u(x) = \left\{ \begin{array}{ccccc} C & , & \mbox{falls} & 0 \le x \le \frac{\varepsilon}{2} & ,\\ -\frac{2C}{\varepsilon} x+2C & , & \mbox{falls} & \frac{\varepsilon}{2} < x \le \varepsilon & , \\ 0 & , & \mbox{falls}& \varepsilon< x \le 1& . \end{array} \right.[/mm]
gekommen, denn sie erfüllt genau diese Kriterien, wenn man [mm]\varepsilon[/mm] gegen [mm]0[/mm] laufen lässt.
Wie du schon richtig berechnet hast, gilt: [mm]\Vert u \Vert_{\infty} = C[/mm].
Andererseits gilt:
[mm]u(x) \le C[/mm] für alle [mm]x \in [0,\varepsilon][/mm],
und daher
[mm]\Vert u \Vert_2 = \left( \int_0^1 u^2(u)\, dx\right)^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{\varepsilon} \cdot C[/mm].
Würde jetzt also
[mm]\Vert u \Vert_{\infty} \le C \cdot \Vert u \Vert_2[/mm]
gelten, dann müsste wegen [mm] $\Vert [/mm] u [mm] \Vert_{\infty}=C$ [/mm] und [mm] $\Vert [/mm] u [mm] \Vert_2 \le \sqrt{\varepsilon}\cdot [/mm] C$ erst recht
[mm]C \le C \cdot \sqrt{\varepsilon}C = C^2 \cdot \sqrt{\varepsilon}[/mm]
gelten, also (teile durch $C$):
[mm]1 \le C \cdot \sqrt{\varepsilon}[/mm].
Wenn ich aber [mm] $\varepsilon$ [/mm] sehr klein wähle (genauer: wenn ich [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \frac{1}{C^2}$ [/mm] wähle), dann stimmt diese Ungleichung nicht mehr und ich habe meinen gewünschten Widersprich gefunden.
Es gibt kein solches [mm]C[/mm], d.h. die beiden Normen sind nicht äquivalent.
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Do 13.05.2004 | | Autor: | majorlee |
ok, dann hab ichs denke ich mal richtig gemacht... =)
vielen dank noch mal... =) werde bestimmt öfter mal um hilfe bitten, dann hoffentlich mit einigen brauchbaren ansätzen (die für diese aufgaben wären eh GANZ falsch gewesen... =)
mfg
Elia
ps: bin männlich. elia ist ein biblischer name eines männlichen propheten im alten testament... =)
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Demnächst bitte sofort den Link angeben oder die Aufgabe vollständig abschreiben (auch mit Tipps!).
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hier ist der link zum übungsblatt, gemeint ist aufgabe 3![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
