Gleichmäßige Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Matheräumer,
ich habe ein Problem mit der gleichmäßigen Stetigkeit (eigentlich mit Stetigkeit im allg, aber egal...).
Es geht darum zu zeigen, ob f(x)=x² gleichmäßig stetig ist oder nicht.
Ich weiß, dass die Funktion stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.
Mein Problem ist die Negation der [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Defintion:
Defintion (Gleichmäßige Stetigkeit):
[mm]\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0: |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\;\forall x,x_0\;mit\;|x-x_0|<\delta[/mm].
Wie kann ich nun in die Umkehrung mitreinbringen, dass [mm]\delta[/mm] nicht von [mm]x_0[/mm] abhängt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Di 15.02.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
Ich schreibe dir die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nochmal ein klein wenig umformuliert auf, dann kannst du die Aussage einfach mit den gängigen Regeln negieren. Und zwar:
[mm]f:\IR\to\IR[/mm] glm. stetig
[mm]\gdw\quad \forall\varepsilon>0:\exists \delta >0: \forall x,y \in \IR: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| <\varepsilon[/mm]
Versuchs mit dieser Formel nochmal, und wenn du nicht weiterkommst, meld dich einfach nochmal! 
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Danke für die schnelle Antwort.
Hier meine Negation der Aussage:
[mm]\exists\;\varepsilon>0\ \forall\;\delta>0:\ \exists\;x,y\;\in\;\IR:\ |x-y|<\delta\ \wedge\ |f(x)-f(y)|\ge\varepsilon[/mm]
Ist das richtig?
mathahari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 15.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo ihr Matheräumer,
> ich habe ein Problem mit der gleichmäßigen Stetigkeit
> (eigentlich mit Stetigkeit im allg, aber egal...).
> Es geht darum zu zeigen, ob f(x)=x² gleichmäßig stetig ist
> oder nicht.
> Ich weiß, dass die Funktion stetig, aber nicht gleichmäßig
> stetig ist.
Wieso weisst du das?
In jedem endlichen Intervall ist [mm] f(x)=x^{n} [/mm] gleichmäßig stetig! nur in dem Intervall [mm] (x0,\infty) [/mm] nicht! und nur da kannst du beweisen dass es kein Delta unabhängig von x gibt.
Gruss leduart
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Natülich meine ich, dass die Funktion für ganz [mm]x\;\in\;\IR[/mm] betrachtet werden soll.
Für abgeschlossene Intervalle, wär's ja nicht so ein Problem.
Trotzdem danke für deine Zeit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 15.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo mathahari!
Sei [mm] $\varepsilon:=1\;\;(>0)$. [/mm] Ist [mm] $\delta [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so betrachte die Punkte [mm]x_{\delta}:=\frac{1}{\delta}[/mm] und [mm]y_{\delta}:=x_{\delta}+\frac{\delta}{2}[/mm]. Was gilt dann stets für [mm]|y_{\delta}-x_{\delta}|[/mm]?
Wie sieht's aus mit [m]\left|f(y_{\delta})-f(x_{\delta})\right|[/m]?
Viele Grüße,
Marcel
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Es gilt also (für marcels vorschläge :o):
[mm]|\,y_\delta\,-\,x_\delta\,|\,=\,|\,\bruch{\delta}{2}\,|\,<\,\delta[/mm] und
[mm]|f\,(y_\delta)\,-\,f(x_\delta)\,|\,=\,|\,1\,+\,\bruch{\delta^2}{4}\,|\,>\,1\,=\,\varepsilon[/mm]
Dankeschön, das ist ja doch gar nicht sooooooooo schwer.
Ich muss also immer nur (bei dieser Art von Aufgabenstellung) x,y in Abhängigkeit von [mm]\delta[/mm] finden, sodass [mm]\varepsilon[/mm] nicht von [mm]\delta[/mm] abhängt. Oder?!
Na dann, nochmal dankeschön.
Ihr seid super.
mathahari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 15.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathahari!
> Es gilt also (für marcels vorschläge :o):
>
> [mm]|\,y_\delta\,-\,x_\delta\,|\,=\,|\,\bruch{\delta}{2}\,|\,<\,\delta[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und
>
> [mm]|f\,(y_\delta)\,-\,f(x_\delta)\,|\,=\,|\,1\,+\,\bruch{\delta^2}{4}\,|\,>\,1\,=\,\varepsilon[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Dankeschön, das ist ja doch gar nicht sooooooooo schwer.
> Ich muss also immer nur (bei dieser Art von
> Aufgabenstellung) x,y in Abhängigkeit von [mm]\delta[/mm] finden,
> sodass [mm]\varepsilon[/mm] nicht von [mm]\delta[/mm] abhängt. Oder?!
Ich denke, du meinst das so:
Du mußt ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ finden, so dass du zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ Punkte [mm]x_{\delta},y_{\delta}[/mm] angeben kannst, die [mm]|x_{\delta}-y_{\delta}|<\delta[/mm] und [mm]|f(x_{\delta})-f(y_{\delta})|\ge \varepsilon[/mm] erfüllen, wenn du die gleichmäßige Stetigkeit widerlegen willst. Genau!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Mi 16.02.2005 | | Autor: | mathahari |
Genau so meine ich das.
Dankeschön.
mathahari
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:17 Di 15.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo auch :)
ich glaube die Definition muss eigentlich noch etwas anders geschrieben werden.
Deine Version:
[mm]\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0: |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\;\forall x,x_0\;mit\;|x-x_0|<\delta[/mm].
Leicht modifizierte Version von W.Kaballo "Einführung in die Analysis" S.103:
[mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und
[mm] \delta>0 [/mm] und natürlich
x, y aus R und x<y
( zwecks einfacherer Lesbarkeit)
[mm]
\forall\; \varepsilon\;
\exists\; \delta\;
\forall\; x,y\; :\;
|x-y|\; <\; \delta \;
\; \Rightarrow\; |f(x)-f(y)| \;<\;\varepsilon[/mm]
Ich habe mir das genau überlegt, bin mir nicht sicher ob es mit deiner genau Äquivalent ist.
Ich finde auch dass die von Kaballo wenigsten so erweitert werden müsste:
[mm]
\forall\; \varepsilon\;
\exists\; \delta\; mit \;
\forall\; x,y\; :\;
|x-y|\; <\; \delta \;
\; \Rightarrow \; |f(x)-f(y)| \;<\;\varepsilon[/mm]
Wie kann man das mit noch kürzer, als mathematische Kürzel schreiben?
Übrigens wer Lust hat noch andere Versionen zu schreiben gerne... ich suche mir dann die für mich schönste aus.
Hier noch welche von mir (absichtlich nicht immer ganz mathematisch 100% korrekt):
[mm]
\forall \; \varepsilon - Schlauch \;
\exists \;\delta - Schlauch\;[/mm]
so, dass der Graph im [mm] \delta [/mm] - Schlauch, auch im [mm] \varepsilon [/mm] - Schlauch liegt.
oder
[mm]
\forall \; \varepsilon - Schlauch \;
\exists \;\delta - Schlauch\;[/mm]
so, dass [mm] \forall [/mm] Funktionswerte im [mm] \delta [/mm] - Schlauch im [mm] \varepsilon [/mm] - Schlauch liegen
oder
[mm]
\forall \;\varepsilon \;
\;\exists \;[x,y]:\;
\;\forall\; x',y'\; \in \;[x,y] :\;
\;|x'-y'| \; \le \;|x-y|\; \wedge \;|f(x')-f(y')|\;<\;\varepsilon[/mm]
Ich glaube die letze Version gefällt mir am besten.
Aber ich denke, es könnte noch eine bessere geben.
Vielleicht blöd, dass in der letzen das [mm] $\delta$ [/mm] fehlt.
Vom Ablauf kann man es sich ja so denken:
0. Zuerst wählst du frei ein [mm] $\varepsilon$
[/mm]
Sagen wir [mm] $\varepsilon$ [/mm] = 1
Dann machst du folgende Schritte für alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] <= 1
Das kann lange dauern ;)
1. Epsilon - Bereich wählen
2. Irgendein |f(x)-f(y)| <= Epsilon wählen.
(Übrigens den Abstand |x-y| nenen wir [mm] $\delta$)
[/mm]
3. Es muss gelten, für alle x',y' aus [x,y] : |x'-y'|
[x,y] bilden lassen) kleiner [mm] $\delta$
[/mm]
Wenn ja: Hurra f ist gleichmäßg stetig.
schreiben müsste.
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Hallo Baddi,
> [mm]
\forall \;\varepsilon \;
\;\exists \;[x,y]:\;
\;\forall\; x',y'\; \in \;[x,y] :\;
\;|x'-y'| \; \le \;|x-y|\; \wedge \;|f(x')-f(y')|\;<\;\varepsilon[/mm]
Der Geck bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist gerade das das Intervall beliebig ist.( Haupsache der Abstand der Punkte ist kleiner [mm] \delta) [/mm] Das ist bei dieser Definition nicht mehr gegeben. Genaugenommen braucht man gar keine Intervalle zu kennen um Stetigkeit zu definieren sondern eben nur Abstände(bzw. Normen)
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 16.02.2005 | | Autor: | baddi |
:) Ahso... überlegt.
> Hallo Baddi,
> >
[mm]
\forall \;\varepsilon \;
\;\exists \;[x,y]:\;
\;\forall\; x',y'\; \in \;[x,y] :\;
\;|x'-y'| \; \le \;|x-y|\; \wedge \;|f(x')-f(y')|\;<\;\varepsilon[/mm]
>
>
> Der Geck bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist gerade das
> das Intervall beliebig ist.( Haupsache der Abstand der
> Punkte ist kleiner [mm]\delta)[/mm]
> [...]
> Alles klar?
Ah, dann schreibe ich dass mal um:
[mm] $\forall$ [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] $\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\exists$ $\delta$: [/mm]
[mm] $\forall$ [/mm] |x'-y'| < [mm] $\delta$:
[/mm]
[mm] $\forall$ [/mm] x'',y'' [mm] $\in$ [/mm] [x', y']:
|f(x'')-f(y'')| < [mm] $\varepsilon$
[/mm]
Jetzt aber ist es schön :) !!
Oder ?
Ich kann einfach nicht davon lassen (ist wie eine Sucht) die Definition umzuschreiben, bis Sie mir passt...
habe dabei gemerkt, dass mir die ursprüngliche von Kaballo jetzt eigentlich doch gut gefällt :O
:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 16.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo ... also ich glaube so langsam hab ichs wirklich verinnerlicht,
die glm. Stetigkeit.
Ich möchte hier noch ein anschauliches Rezept anbieten:
Hoffe natürlich auf Gegenlesen, kann ja wie so am End doch falsch sein.
Zuerst wähle ich mir mal ein [mm]\delta[/mm].
Das ist einfacher als sich alle [mm]\varepsilon[/mm] vorzustellen.
Was man eigentlich nicht darf, weil [mm]\delta[/mm] ja von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt... aber wards mal ab.
Jetzt zerlegen wir unseren Funktionsgrapehn in [mm]\delta[/mm] Stückchen.
D.h. wir zeichnen dünnen senkrechte Strichchen in einem etwas kleinen [mm]\delta[/mm]- Abstand.
Also eher an den stellen, wo wir denken, es könnte nicht glm. stetig sein.
Da ist es interessanter.
Dann erst malen wir uns einen [mm]\varepsilon[/mm]- Balken oder Schlauch, kann man nennen wie man will.
Also zwei horizontale Linien im Abstand von [mm]\varepsilon[/mm].
Für die meisten Funktionen müsste ein großes, richtig großzügiges [mm]\varepsilon[/mm] bereits reichen, damit man deutlich sieht was abgeht.
P.S.:
Man vergesse dabei nicht, das es für gaaaaannnz winzige winzigste [mm]\varepsilon[/mm] immer auch gelten muss, dabei nich vergessen dass
[mm]\delta[/mm] von [mm] \varepsilon[/mm] [/mm] abhängt - eigentlich.
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Hallo nochmal,
Vom Prinzip her müsstest du vom [mm] \varepsilon [/mm] Schlauch ausgehen und dein [mm] \delta [/mm] "intervall" beliebig hin- und herschieben. Dann den epsilon Schlauch kleiner machen und immer noch solch muß solch ein [mm] \delta [/mm] findbar sein. Eine Zerlegung wie auch immer die aussieht trifft's eben nicht.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Do 17.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo mathemaduenn,
> > [mm]\forall[/mm] |f(x)-f(y)| < [mm]\varepsilon[/mm]
> ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Das etwas kleiner [mm]\varepsilon[/mm] ist sollte eigentlich der
> Schluß sein und am Ende stehen nach einem [mm]\Rightarrow[/mm]
> natürlich
Zum einen ist es wohl schon redundant, weil es bei mir noch mal am Ende steht, aber dass es am Anfang steht, macht die Definition visuell, schneller begreifbarer.
Schlieslich und endlich geht es ja um [mm]\varepsilon[/mm] - Bereiche, und zwar um "alle".
Es macht ja sehr wohl einen Unterschied wo ich meinen Bereich ansetze.
Erst darin wird dann der [mm]\delta[/mm]- Bereich gesucht.
Also, ich denke du solltest da nicht so sicher sein.
Hoffe sehr auf geteilte Meinung :)
> > [mm]\exists[/mm] [mm]\delta[/mm]:
> > [mm]\forall[/mm] |x'-y'| < [mm]\delta[/mm]:
> > [mm]\forall[/mm] x'',y'' [mm]\in[/mm] [x', y']:
> Hier stellt sich mir die Frage: Was ist ein Intervall
> eigentlich? oder besser Wie definiert man ein Intervall in
> R? [mm](R^n[/mm] ?)
> > |f(x'')-f(y'')| < [mm]\varepsilon[/mm]
> Eigentlich schon ganz schön ein offenes Intervall müsste
> es aber schon sein.
Aber ist es nicht eigenltich offen, da < und nicht [mm] $\le$ [/mm] gefordert ist ?
>Und irgendwie ist's halt jetzt doppelt
> gemoppelt. Erst die Intervalle und dann die Zahlen aus dem
> Intervall zu betrachten.
Ja stimmt. Aber ich finde es vom Ablauf her so klarer.
Man sieht was in welcher Reihenfolge geschiet.
Es kann aber gut sein, so habe ich den verdacht, dass ich nach längerer Zeit einmal, meine Definition nicht mehr mag.
Naja... so ist das leben halt :)
> > Ich kann einfach nicht davon lassen (ist wie eine Sucht)
> > die Definition umzuschreiben, bis Sie mir passt...
>
Ich bin halt ein sturer Pedant ;) .. der sich gern in Dingen verrennt ;)
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Hallo Baddi,
[ a,b] hatte ich als abgeschlossenes Intervall interpretiert
Womit wir wieder bei der Frage wären was ist eigentlich ein Intervall?
Bei deiner Formulierung
[mm] \forall |f(x)-f(y)|<\varepsilon [/mm] stellt sich mir nur die Frage worauf bezieht sich "Für alle" auf Differenzen die betragsmäßig kleiner epsilon sind? Ich weiß: Krümelkackerei aber so sind sie die Mathematiker(manchmal auch die die welche werden wollen)
gruß
mathemaduenn
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
