Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mo 04.04.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei $ I [mm] \in \IR [/mm] $ ein nicht leeres Intervall. Eine Funktion $ f $ heisst Lipschitz-Stetig in $ I $, falls eine Konstante $ L < [mm] \infty [/mm] $ existiert, sodass $ |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L*|x-y| [mm] \forall x,y\in [/mm] I $.
Zeige: $ f $ ist gleichmäßig stetig auf $ I $ . |
Hallo! Weiss nicht wie ich diese Aufgabe ordentlich lösen kann.
Was mir klar ist:
Für gleichmäßige Stetigkeit gilt: |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon
[/mm]
Gegeben habe ich hier |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L*|x-y| und habe dann so weiter gedacht:
[mm] \epsilon [/mm] > |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L*|x-y| < [mm] L*\delta \gdw \epsilon \le L*\delta
[/mm]
Wähle also [mm] \epsilon [/mm] = [mm] L*\delta \gdw \delta [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon}{L}
[/mm]
Kommt mir noch ein bisschen unfertig vor.. oder geht das so? Damit habe ich ja die für gleichmäßige Stetigkeit gesuchte Darstellung von [mm] \delta [/mm] (?!)
Vielen Dank! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mo 04.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Vom Prinzip richtig, aber ich bin mir nicht ganz sicher ob du das Argument wirklich verstanden hast. Du wählst nicht [mm]\varepsilon[/mm], sondern das [mm]\delta[/mm](möglicherweise in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$)
[/mm]
Also: Zu beliebigem vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]\delta:=\varepsilon/L[/mm], dann gilt für [mm]|x-y|\le\delta[/mm]
[mm]|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\le L\cdot\frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon[/mm].
Gruß, Robert
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