Gleichsseitiges Dreieck zeigen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 13.06.2011 | | Autor: | pramar |
| Aufgabe | | In einem Kreis sein ein Sechseck ABCDEF eingeschrieben. Die Länge der Seiten AB,CD und EF sei gleich der Länge des Radius des Kreises. Man zeige, dass die Mittelpunkte der drei übrigen Seiten des Sechsecks Eckpunkte eines gleichsseitigen Dreiecks sind. |
Hallo zusammen. Ich habe mal wieder eine Aufgabe zu lösen. Ich habe mir die Angabe aufgezeichnet. Ich weiss dass die Dreiecke mit den Seitenlängen r gleichseitig sind. Für die anderen 3 Dreiecke im Inneren gilt dass sie gleichschenklig sind. Die Höhe und die Schwerlinie sind identisch mit der Symmetrieachse. Ich verbinde die 3 Mittelpunkte und erhalte das Dreieck für die die Eigenschaft zu zeigen ist. Muss ich zeigen dass alle Winkel 60° sind oder kann ich zeigen dass alle Seiten gleich sind? lg pramar
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Hallo pramar,
wer auch immer diese schöne Aufgabe ersonnen hat, hat Phantasie und einigen Weitblick.
> In einem Kreis sein ein Sechseck ABCDEF eingeschrieben.
Es müsste "sei" heißen, und "einbeschrieben.
> Die Länge der Seiten AB,CD und EF sei gleich der Länge des
> Radius des Kreises. Man zeige, dass die Mittelpunkte der
> drei übrigen Seiten des Sechsecks Eckpunkte eines
> gleichsseitigen Dreiecks sind.
gleichsseitig wie in gleichsfalls oder gleichsgroß?
> Hallo zusammen. Ich habe mal wieder eine Aufgabe zu
> lösen. Ich habe mir die Angabe aufgezeichnet. Ich weiss
> dass die Dreiecke mit den Seitenlängen r gleichseitig
> sind. Für die anderen 3 Dreiecke im Inneren gilt dass sie
> gleichschenklig sind.
Ohne Deine Zeichnung kann man da ja nur Sherlock Holmes spielen. Ich nehme an, Du meinst die Dreiecke, die entstehen, wenn man jeweils die Endpunkte einer Sechsecksseite mit dem Kreismittelpunkt verbindet?
> Die Höhe und die Schwerlinie sind
> identisch mit der Symmetrieachse. Ich verbinde die 3
> Mittelpunkte und erhalte das Dreieck für die die
> Eigenschaft zu zeigen ist. Muss ich zeigen dass alle Winkel
> 60° sind oder kann ich zeigen dass alle Seiten gleich
> sind?
Winkel sind hier schwieriger. Versuche den Weg über die Seitenlängen.
Ich gehe davon aus, dass die Aufgabenstellung ein Sehnensechseck beschreibt. Hilfreich könnte der Satz des Ptolemäus über Sehnenvierecke sein, in Verbindung mit dem geometrischen Wissen über Umkreise von Dreiecken, genauer also den ![[]](/images/popup.gif)
Peripheriewinkelsatz (Verallgemeinerung des Thalessatzes).
Mehr Material brauchst Du nicht, soweit ich sehe. Damit gelingt (trotz der o.g. Winkelsätze) der Beweis über die Seitenlängen.
Viel Erfolg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Di 14.06.2011 | | Autor: | pramar |
Ja es heisst "sei..einbeschrieben". Ich meine die Dreiecke die entstehen wenn ich die Eckpunkte mit dem Kreismittelpunkt verbinde, genau. Ich sehe hier nicht, wei mir der Satz von Ptolemäus helfen könnte?? Ich hätte vielleicht eine andere Idee: Wenn ich alle Eckpunkte mit dem Kreismittelpunkt verbinde,dann entstehen mir ja 3 gleichsseitige Dreicke mit jeweils r als Seitenlänge und 3 gleichschenklige Dreicke wo jeweils die Basislänge sprich die Sehnenseite verschiedne von r sein kann.Dann bilden mir jeweils ein gleichschenkliges und ein gleichseitiges Dreieck ein Viereck mit Fläche [mm] r^2. [/mm] Daraus kann ich folgern dass die gleichschenkligen Dreiecke flächengleich sein müssen. Komme ich so irgendwie ans Ziel?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 14.06.2011 | | Autor: | sangham |
Hi,
> Ja es heisst "sei..einbeschrieben". Ich meine die Dreiecke
> die entstehen wenn ich die Eckpunkte mit dem
> Kreismittelpunkt verbinde, genau.
ok noch mal ob ich es richtig verstanden habe: ABCDEF ist als 6eck in den Kreis einbeschrieben; sei M der Mittelpunkt. AMB, CMD, EMF sind als gleichschenklig gegeben. Es ist zu zeigen, dass auch BMC, DME und FMA gleichschenklig sind.
Ja?
> Ich sehe hier nicht, wei
> mir der Satz von Ptolemäus helfen könnte?? Ich hätte
> vielleicht eine andere Idee: Wenn ich alle Eckpunkte mit
> dem Kreismittelpunkt verbinde,dann entstehen mir ja 3
> gleichsseitige Dreicke mit jeweils r als Seitenlänge und 3
> gleichschenklige Dreicke wo jeweils die Basislänge sprich
> die Sehnenseite verschiedne von r sein kann.Dann bilden mir
> jeweils ein gleichschenkliges und ein gleichseitiges
> Dreieck ein Viereck mit Fläche [mm]r^2.[/mm] Daraus kann ich
> folgern dass die gleichschenkligen Dreiecke flächengleich
> sein müssen. Komme ich so irgendwie ans Ziel?
Wenn du meinst, aus 2 benachbarten Dreiecken ein Viereck zu machen, sagen wir DME und EFM zu DEFM - ist das vielleicht kein schlechter Ansatz. Das Problem hier ist, woher weißt du, dass der Fl.inhalt [mm] r^2 [/mm] ist? Es ist ja kein Quadrat.
Mein Gedanke dazu: 3 Seiten sind bekannt, DM = EF = FM = r und der Winkel MFE ist 60 Grad. Ausserdem ist EM, die kurze Diagonale des Vierecks, auch r. Es gilt r = 2*r*sin(60[grad]/2), das ist die Formel für die kurze Diagonale im Rhombus. Wenn du zeigen kannst, dass EF und DM parallel sind (geschnittene Winkel an Parallelen? DMC=60 grad), bist du eigentlich fertig - denn dann kann es nur ein Rhombus sein. [Und natürlich ist dann auch der Fl.inhalt [mm] r^2]
[/mm]
gruss, sangham
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Di 14.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo sangham,
die Aufgabenstellung geht deutlich davon aus, dass zwei benachbarte dieser Mittelpunktsdreiecke zusammen keinen Rhombus ergeben. Wäre das nämlich an allen Stellen der Fall, so wäre das beschriebene Sechseck regelmäßig und die Aufgabe trivial.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Di 14.06.2011 | | Autor: | sangham |
> Hallo sangham,
>
> die Aufgabenstellung geht deutlich davon aus, dass zwei
> benachbarte dieser Mittelpunktsdreiecke zusammen keinen
> Rhombus ergeben. Wäre das nämlich an allen Stellen der
> Fall, so wäre das beschriebene Sechseck regelmäßig und
> die Aufgabe trivial.
>
> Grüße
> reverend
es war eine Schlussfolgerung, dass es sich um ein Rhombus handeln muss, keine Annahme. wie auch immer, offensichtlich war die Aufgabe trivial.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Di 14.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo sangham,
nimms mir nicht übel, aber es gibt nichts, woraus man diese Schlussfolgerung (Rhombus...) ziehen könnte. Die Aufgabe ist alles andere als trivial, sondern ausnehmend "trickreich". Das gegebene Sechseck ist wesentlich allgemeiner als ein regelmäßiges, nur dass eben drei (jeweils nicht benachbarte) Seiten die Länge r haben, wobei r der Radius des Kreises ist, dem das (ansonsten unregelmäßige) Sechseck einbeschrieben ist. Die Kombination aus einem der drei gleichseitigen Zentrumsdreiecke mit einem der beiden benachbarten "nur" gleichschenkligen ist im Normalfall kein Rhombus. Dieser stellt nur einen Spezialfall dar.
Ein Beispiel:
Nimm ein regelmäßiges 24-Eck. Markiere die Ecken 1,5,7,11,14 und 18. Das sind die Ecken eines möglichen Sechsecks, das der Aufgabe genügt. Und selbst da ist, trotz der "bequemen" Winkel, die Behauptung nicht leicht zu zeigen, eigentlich nur, indem man sie gleich für ein Sechseck ziegt, das der allgemeineren Definition genügt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Di 14.06.2011 | | Autor: | sangham |
> Hallo sangham,
>
> nimms mir nicht übel, aber es gibt nichts, woraus man
> diese Schlussfolgerung (Rhombus...) ziehen könnte.
Hallo reverend,
nein nehme ich dir nicht, aber du willst auch etwas anderes zeigen, als ich angenommen hatte, so dass wir sowieso völlig aneinander vorbei geschrieben haben. Die Schlussfolgerung war ein Parallelenargument, ich sagte
"WENN du zeigen kannst, dass DM und EF parallel sind (2 der geg. Seiten der Länge r), DANN muss es sich um ein Rhombus handeln, weil die 3. (verbindende) Seite auch Länge r hat." So war es gemeint. Aber offensichtlich, wie ich deinem Bsp. unten entnehmen konnte, gilt das nicht allgemein.
Aber wie gesagt, du willst ja auch gar nicht zeigen, dass es sich dann automatisch um ein regelmäßiges Rechteck handelt (wie ich angenommen hatte).
> Die
> Aufgabe ist alles andere als trivial, sondern ausnehmend
> "trickreich". Das gegebene Sechseck ist wesentlich
> allgemeiner als ein regelmäßiges, nur dass eben drei
> (jeweils nicht benachbarte) Seiten die Länge r haben,
> wobei r der Radius des Kreises ist, dem das (ansonsten
> unregelmäßige) Sechseck einbeschrieben ist. Die
> Kombination aus einem der drei gleichseitigen
> Zentrumsdreiecke mit einem der beiden benachbarten "nur"
> gleichschenkligen ist im Normalfall kein Rhombus. Dieser
> stellt nur einen Spezialfall dar.
>
> Ein Beispiel:
>
> Nimm ein regelmäßiges 24-Eck. Markiere die Ecken
> 1,5,7,11,14 und 18. Das sind die Ecken eines möglichen
> Sechsecks, das der Aufgabe genügt. Und selbst da ist,
> trotz der "bequemen" Winkel, die Behauptung nicht leicht zu
> zeigen, eigentlich nur, indem man sie gleich für ein
> Sechseck ziegt, das der allgemeineren Definition genügt.
Ja, ich habe es jetzt nachgeprüft. War ja auch nur ein Vorschlag...
eben kein besonders nützlicher. Aber du hast die Aufgabe ja gelöst bekommen.
Gruss, sangham
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Di 14.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo pramar,
> In einem Kreis sei ein Sechseck ABCDEF einbeschrieben. Die
> Länge der Seiten AB,CD und EF sei gleich der Länge des
> Radius des Kreises. Man zeige, dass die Mittelpunkte der
> drei übrigen Seiten des Sechsecks Eckpunkte eines
> gleichsseitigen Dreiecks sind.
Man könnte die gleiche Konstruktion auch so beschreiben:
Zeichne in einen Kreis mit dem Radius r drei beliebige Sehnen der Länge r, die sich aber weder schneiden noch berühren dürfen. Verbinde dann jeden Sehnenendpunkt mit dem Anfangspunkt der benachbarten Sehne.
Dieses Sehnensechseck gilt es auf die beschriebene Eigenschaft hin zu untersuchen.
Ein Tipp dazu: die folgenden Sehnenpaare sind jeweils gleich lang.
[mm] |\overline{AC}|=|\overline{BD}|,\quad |\overline{CE}|=|\overline{DF}|,\quad |\overline{EA}|=|\overline{FB}|
[/mm]
Grüße
reverend
PS: In der Tat ist Ptolemäus hier gar nicht nötig. Es genügen Symmetrie- und Ähnlichkeitsbetrachtungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 14.06.2011 | | Autor: | pramar |
Ich bin jetzt leicht verwirrt ehrlich gesagt. Also wovon muss ich ausgehen? ich weiss dass drei Seiten gleich r sind und dass die Mittelpunkte der 3 anderen Seiten die Eckpunte eines gleichsseitigen Dreiecks sein sollen. Das ist zu zeigen! Das die Sehnenpaare AC und BC gleich sind bzw die anderen auch ist mir noch nicht ganz klar. mit was hat das zu tun? Das die beiden kürzeren Seiten jeweils gleich lang sind? Was hat das aber mit meinem zu untersuchenden Dreieck zu tun, sehe leider keinen Zusammenhang....
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Hallo pramar,
> Ich bin jetzt leicht verwirrt ehrlich gesagt. Also wovon
> muss ich ausgehen? ich weiss dass drei Seiten gleich r sind
> und dass die Mittelpunkte der 3 anderen Seiten die Eckpunte
> eines gleichsseitigen Dreiecks sein sollen. Das ist zu
> zeigen!
Ja, so ist es.
> Das die Sehnenpaare AC und BC gleich sind bzw die
> anderen auch ist mir noch nicht ganz klar. mit was hat das
> zu tun?
Mach Dir doch mal eine ordentliche Skizze davon. Ich habe hier leider nur "Paint" auf dem Rechner, damit geht das einfach nicht. Und ein Scanner steht mir nicht zur Verfügung.
Im übrigen ist [mm] |AC|\not=|BC|, [/mm] aber [mm] |\overline{AC}|=|\overline{BD}|, [/mm] was folgt, wenn man die ganze Figur an der Mittelsenkrechten auf [mm] \overline{BC} [/mm] spiegelt. Dann gehen [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{CD} [/mm] ja ineinander über. Entsprechend bei den anderen angegebenen Längengleichheiten.
> Das die beiden kürzeren Seiten jeweils gleich lang
> sind?
Nein, darüber wissen wir absolut nichts und können es auch nicht voraussetzen.
> Was hat das aber mit meinem zu untersuchenden Dreieck
> zu tun, sehe leider keinen Zusammenhang....
Darum geht es ja. Finde Linien, die gleichlang sind. Finde Figuren, die einander ähnlich sind und über deren Beziehung Aussagen zu treffen sind. Finde Symmetrien. Dann kannst Du irgendwann Hilfskonstruktionen finden, mit denen Du für je zwei benachbarte Seiten Deines zu untersuchenden Dreiecks zeigen kannst, dass sie gleichlang sind.
Grüße
reverend
PS: So ein integriertes Zeichenprogramm wäre ja was Nettes.
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