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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 13.07.2014 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Nach x auflösen
[mm] e^{x^2 -3}=e [/mm] |
Hallo
wenn ich die Gleichung mal ln nehme
dann müsste das doch so aussehen [mm] ln(x^2 [/mm] -3)=1 oder verschwindet e einfach. Wenn es nicht verschwindet, wie komme ich an das Innere der Klammer ?
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Hallo b.reis,
> Nach x auflösen
> [mm]e^{x^2 -3}=e[/mm]
> Hallo
>
> wenn ich die Gleichung mal ln nehme
>
> dann müsste das doch so aussehen [mm]ln(x^2[/mm] -3)=1 oder
> verschwindet e einfach. Wenn es nicht verschwindet, wie
> komme ich an das Innere der Klammer ?
e verschwindet, weil der ln-Funktion
die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e ist.
Gruss
MathePower
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Hallo,
du kannst auch so überlegen:
> Nach x auflösen
> [mm]e^{x^2 -3}=e[/mm]
schauen wir mal, was dort steht:
[mm] e^{x^2-3}=e^1
[/mm]
Wann sind diese beiden Ausdrücke wohl gleich? Nunja, da die Basen bereits gleich sind, müssen noch die Exponenten gleich sein. Es folgt also
[mm] x^2-3=1
[/mm]
Dies kannst du nun sicherlich auflösen.
> Hallo
>
> wenn ich die Gleichung mal ln nehme
>
> dann müsste das doch so aussehen [mm]ln(x^2[/mm] -3)=1 oder
> verschwindet e einfach. Wenn es nicht verschwindet, wie
> komme ich an das Innere der Klammer ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Nach x auflösen
> [mm]e^{x^2 -3}=e[/mm]
> Hallo
>
> wenn ich die Gleichung mal ln nehme
>
Also diese Formulierung macht mir Angst!
$ln$ ist doch keine Variable mit der du multiplizierst!
$ln$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis e und sie wird gleichermaßen auf dem Links- wie auch auf den Rechtsterm der Gleichung angewandt - du logarithmierst also beide Seiten deiner Gleichung. Dass dies eine Äquivalenzumformung ist müsste man wohl erst zeigen aber ich gehe davon aus, dass du das (zumindest im Reellen) hier voraussetzen darfst.
Deine Gleichung wird also zu
[mm]ln\left(e^{x^2 -3}\right)=ln(e)[/mm]
und damit zu
[mm] $x^2 [/mm] -3=1$
Eine Gleichung, die du sicher lösen kannst.
Gruß RMix
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> Nach x auflösen
> [mm]e^{x^2 -3}=e[/mm]
> Hallo
>
wenn ich die Gleichung mal ln nehme ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> dann müsste das doch so aussehen [mm]ln(x^2[/mm] -3)=1 oder
> verschwindet e einfach. Wenn es nicht verschwindet, wie
> komme ich an das Innere der Klammer ?
Hallo b.reis
deine Ausdrucksweise "wenn ich die Gleichung mal ln nehme ..."
ist absolut unsinnig. Was du damit meinst, hat nichts mit
"Malnehmen" (also einer Multiplikation) zu tun !
Richtig formuliert könnte das etwa so aussehen:
[mm]\green{e^{x^2 -3}\ =\ e}[/mm]
Wenn ich bei dieser Gleichung auf beiden Seiten den
natürlichen Logarithmus bilde, erhalte ich:
[mm]\green{ln(e^{x^2 -3})\ =\ ln(e)}[/mm]
also [mm]\green{x^2 -3\ =\ ln(e)\ =\ 1}[/mm]
usw.
Die entsprechende Umformung (Bildung des ln auf beiden
Seiten der Gleichung) ist deshalb eine Äquivalenzumformung,
weil die ln-Funktion eine streng monotone und deshalb
bijektive Funktion ist.
LG , Al-Chwarizmi
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