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| Aufgabe | | Ein Frosch sitzt an einem Ufer eines Baches. Er will zum anderen Ufer, aber das ist viel zu weit weg für einen Sprung. Glücklicherweise liegen im Wasser hintereinander sechs Steine, die er als Zwischenstation verwenden kann. Nun kann er immer von einem Stein zum nächsten springen; er kann aber auch Sprünge auf den übernächsten und den über-übernächsten Stein machen. Allerdings schafft er nicht mehr als zwei von diesen Sprüngen, bei denen er einen oder zwei Steine auslässt. Als einen "Weg" bezeichnen wir eine Folge von Sprüngen. Wie viele verschiedene "Wege" gibt es für den Frosch über den Bach? |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Ich habe keinen Schimmer wie ich diese Aufgabe, außer "malen" angehen soll. Da muss es doch irgendeinen mathematischen Ansatz geben!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Ein Frosch sitzt an einem Ufer eines Baches. Er will zum
> anderen Ufer, aber das ist viel zu weit weg für einen
> Sprung. Glücklicherweise leigem im Wasser hintereinander
> sechs Steine, die er als Zwischenstation verwenden kann.
> Nun kann er immer von einem Stein zum nächsten springen; er
> kann aber auch Sprünge auf den übernächsten und den
> über-übernächsten Stein machen. Allerdings schafft er nicht
> mehr als zwei von diesen Sprüngen, bei denen er einen oder
> zwei Steine auslässt. Als einen "Weg" bezeichnen wir eine
> Folge von Sprüngen. Wie viele verschiedene "Wege" gibt es
> für den Frosch über den Bach?
Benennen wir die Steine mal mit 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Dann gibt es zunächst einmal den einfachsten Weg: 1 2 3 4 5 6
Außerdem gibt es Wege, bei denen Steine übersprungen werden.
Es kann maximal zwei solcher Abkürzungen geben.
Betrachten wir also erst einmal alle Wege mit einer Abkürzung:
Er kann eine kleine und eine große Abkürzung nehmen.
Kleine Abkürzung (1 Stein wird ausgelassen):
1 2 3 4 5 (Stein 6 wird ausgelassen)
1 2 3 4 6 (Stein 5 wird ausgelassen)
1 2 3 5 6 (Stein 4 wird ausgelassen)
1 2 4 5 6 (Stein 3 wird ausgelassen)
1 3 4 5 6 (Stein 2 wird ausgelassen)
2 3 4 5 6 (Stein 1 wird ausgelassen)
Das sind 6 Wege - für jeden Stein einer.
Große Abkürzung (2 Steine werden ausgelassen):
1 2 3 4 (5 und 6 werden ausgelassen)
1 2 3 6 (4 und 5 werden ausgelassen)
1 2 5 6 (3 und 4 werden ausgelassen)
1 4 5 6 (2 und 3 werden ausgelassen)
3 4 5 6 (1 und 2 werden ausgelassen)
Das sind 5 Wege - ein Weg für jedes Paar benachbarter Steine.
Wege mit 2 Abkürzungen:
Wege mit 2 kleinen Abkürzungen:
1 2 3 5 (4 und 6 werden ausgelassen)
1 2 4 5 (3 und 6 werden ausgelassen)
1 2 4 6 (3 und 5 werden ausgelassen)
1 3 4 5 (2 und 6 werden ausgelassen)
1 3 4 6 (2 und 5 werden ausgelassen)
1 3 5 6 (2 und 4 werden ausgelassen)
2 3 4 5 (1 und 6 werden ausgelassen)
2 3 4 6 (1 und 5 werden ausgelassen)
2 3 5 6 (1 und 4 werden ausgelassen)
2 4 5 6 (1 und 3 werden ausgelassen)
Das sind 10 Wege - ein Weg für jedes Paar nicht benachbarter Steine.
Wege mit einer kleinen und einer großen Abkürzung:
1 2 4 (3 und 5,6 werden ausgelassen)
1 2 5 (3,4 und 6 werden ausgelassen)
1 3 4 (2 und 5,6 werden ausgelassen)
1 3 6 (2 und 4,5 werden ausgelassen)
1 4 5 (2,3 und 6 werden ausgelassen)
1 4 6 (2,3 und 5 werden ausgelassen)
2 3 4 (1 und 5,6 werden ausgelassen)
2 3 6 (1 und 4,5 werden ausgelassen)
2 5 6 (1 und 3,4 werden ausgelassen)
3 4 5 (1,2 und 6 werden ausgelassen)
3 4 6 (1,2 und 5 werden ausgelassen)
3 5 6 (1,2 und 4 werden ausgelassen)
Das sind 12 Wege.
Wege mit 2 großen Abkürzungen:
1 4 (2,3 und 5,6 werden ausgelassen)
3 4 (1,2 und 5,6 werden ausgelassen)
3 6 (1,2 und 4,5 werden ausgelassen)
Das sind 3 Wege.
Insgesamt gibt es also $1 + 6 + 5 + 10 + 12 + 3 = 37$ Wege.
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