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Hallo zusammen
Frage: Für welche $ [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \in \IR [/mm] $ estistieren für alle $ y,z [mm] \in \IR [/mm] $ Lösungen der Gleichungen:
a. $ [mm] y=\alpha [/mm] x + [mm] e^x [/mm] $
b. $ [mm] z=x^5 -\beta [/mm] x $
Ich bin nicht ganz sicher, ob ich richtig rechne:
$ [mm] f(x):=\alpha [/mm] x + [mm] e^x [/mm] $
Da [mm] \alpha [/mm] x und [mm] e^x [/mm] ist definiert für alle reellen Zahlen definiert, $ [mm] Def(f)=\IR [/mm] $. $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\alpha [/mm] x = [mm] \infty [/mm] $ und $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty [/mm] $, d.h. $ [mm] -\infty [/mm] < y < [mm] +\infty [/mm] $.
Stimmt das? Danke für Ihre Hilfe im Voraus.
Sauerstoff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sauerstoff,
> Hallo zusammen
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> Frage: Für welche [mm]\alpha , \beta \in \IR[/mm] estistieren für
> alle [mm]y,z \in \IR[/mm] Lösungen der Gleichungen:
>
> a. [mm]y=\alpha x + e^x [/mm]
> b. [mm]z=x^5 -\beta x[/mm]
Ich nehme an, es ist nach reellen Lösungen gefragt (d.h. es soll auch [m]x \in \IR[/m] gelten, falls $x$ Lösung ist)!
> Ich bin nicht ganz sicher, ob ich richtig rechne:
>
> [mm]f(x):=\alpha x + e^x [/mm]
>
> Da [mm]\alpha[/mm] x und [mm]e^x[/mm] ist definiert für alle reellen Zahlen
> definiert, [mm]Def(f)=\IR [/mm]. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\alpha x = \infty[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty [/mm], d.h. [mm]-\infty < y < +\infty [/mm].
Erstmal:
Der Ausdruck [mm] $\alpha [/mm] x [mm] +e^x$ [/mm] ist natürlich [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] und für jedes [m]\alpha \in \IR[/m] definiert. Die Frage ist nur:
Wenn wir ein beliebiges $y [mm] \in \IR$ [/mm] vorgeben:
Für welche [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] besitzt dann die Gleichung
[mm] $y=\alpha [/mm] x [mm] +e^x$ [/mm] (mindestens) eine Lösung $x [mm] \in \IR$?
[/mm]
So, nun zu deiner Lösung:
Hm, ich weiß nicht ganz, was du eigentlich zeigen willst (ich erahne in etwa, dass du vielleicht sagen willst, dass dein $f$ stetig ist, bei einer gewissen Grenzwertbetrachtung gegen [mm] $-\infty$ [/mm] und bei einer anderen gewissen Grenzwertbetrachtung gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt und daher auch alle Werte aus [m](-\infty,\infty)[/m] (also alle Werte aus [mm] $\IR$) [/mm] annimmt (Woher weißt du das zuletzt erwähnte? Welcher Satz hilft dabei?) Das stimmt so aber nicht ganz; das stimmt nur im Falle [mm] $\alpha [/mm] > 0$!
Denn:
Was wäre denn z.B. im Falle [mm] $\alpha=0$? [/mm] Stimmt das dann? 
Ansonsten solltest du alles ausführlich und sauber begründen, z.B.:
Warum gilt, falls [mm] $\alpha [/mm] > 0$: [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$?
[/mm]
Warum gilt, falls [mm] $\alpha [/mm] > 0$: [mm] $\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$?
[/mm]
Ist $f$ stetig auf [mm] $\IR$? [/mm] Wenn ja: Warum? Etc.
Aber pass auf:
Falls [mm] $\alpha [/mm] < 0$: Was sind dann [mm] $\lim_{x \to \infty}(\alpha [/mm] x [mm] +e^x)$ [/mm] bzw.
[mm] $\lim_{x \to -\infty}(\alpha [/mm] x [mm] +e^x)$?
[/mm]
Kann man, im Falle [mm] $\alpha [/mm] <0$, nicht vielleicht doch nachweisen, dass dann [m]f(x)=\alpha x +e^x[/m] stets ein globales Minimum hat (d.h. es gibt [m]x_{min}\in \IR[/m] (beachte: das [mm] $x_{min}$ [/mm] darf von [m]\alpha[/m] abhängig sein), so dass [m]-\infty < f(x_{min}) \le f(x)[/m] [m]\forall x \in \IR[/m] gilt!)?
Vielleicht hat das irgendwas mit Ableitungen z.B. zu tun?
Falls es dir nicht klar ist, guck dir mal, beispielsweise, den Graphen von $f$ für [m]\alpha=-1[/m], also den Graph von [mm] $f(x)=-x+e^x$ [/mm] an:
[Dateianhang nicht öffentlich].)
Aber gucken wir uns auch mal Aufgabenteil a. an für [mm] $\alpha=0$:
[/mm]
Ich behaupte jetzt mal:
Ist [mm] $\alpha [/mm] = 0$, so ist:
[mm] $(\star) [/mm] $[m]y=\alpha x +e^x[/m] nicht für jedes $y [mm] \in \IR$ [/mm] lösbar. Denn, wenn dem so wäre, so müßte [mm] $(\star)$ [/mm] insbesondere für $y=-5$ in $x$ lösbar sein, d.h. es müßte ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] geben, so dass:
[mm] $(\star_1)$[/mm] [m]\underbrace{-5}_{=y}=\underbrace{0}_{=\alpha}x+e^x[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ $-5=e^x$.
[/mm]
Wegen [mm] $e^x [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] ist aber [mm] $(\star_2)$ [/mm] (und damit auch [mm] $(\star_1)$) [/mm] für kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllbar.
So, jetzt versuchst du am besten erst nochmal, sauber und ausführlich zu argumentieren!
Denke nochmal drüber nach:
Ich behaupte nämlich:
Für die Gleichung [mm]y=\alpha x + e^x [/mm] existieren genau dann für alle [m]y \in \IR[/m] reelle Lösungen $x$, wenn [m]\alpha > 0[/m] gilt.
Viele Grüße,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Marcel
Danke für deine Hilfe. Leider habe ich nicht so gut verstanden. Meinst du, dass ich für [mm] \alpha [/mm] < 0, [mm] \alpha [/mm] = 0 und [mm] \alpha [/mm] > 0 lösen muss?
Für [mm] \alpha [/mm] = 0 gibt es keine Lösung. Das habe ich verstanden. Aber für andere Fälle wie soll ich gehen, ist mir noch nicht klar. Könntest du mir bitte die detaillierte Lösung geben?
Besten Dank im Voraus
Sauerstoff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:24 Do 13.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sauerstoff,
versuche nochmal zu begründen, warum die Funktion
[m]f_{\alpha}: \IR \to \IR[/m], [m]f_{\alpha}(x)=\alpha x+e^x[/m] im Falle [m]\alpha > 0[/m] surjektiv ist (d.h. ja gerade, dass für alle [m]y \in \IR[/m] die Gleichung [m]\alpha x+e^x[/m] (mindestens) eine reelle Lösung $x$ hat).
Dazu berechne oder begründe, was du für:
[mm] $\lim_{x \to -\infty}f_{\alpha}(x)$ [/mm] und [m]\lim_{x \to \infty}f_{\alpha}(x)[/m] vermutest (es ist wichtig, dass du dir mehr Gedanken dazu machst; ich gebe sie dir hier einfach mal an:
Im Falle [mm]\alpha > 0[/mm] gilt:
(1) [m]\lim_{x \to -\infty}f_{\alpha}(x)=+\infty[/m] und
(2) [m]\lim_{x \to -\infty}f_{\alpha}(x)=-\infty[/m]);
Begründe nun, dass [mm] $f_{\alpha}$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] stetig ist und denke mal an den Zwischenwertsatz; mit dem Zwischenwertsatz und mit [m](1)[/m] und [m](2)[/m] kann man dann die Surjektivität von [mm] $f_{\alpha}$ [/mm] (im Falle [m]\alpha > 0[/m]) begründen!
Den Fall [mm] $\alpha=0$ [/mm] hast du ja verstanden, dazu brauch ich also nix weiter zu sagen! 
Nun zum Fall [mm] $\alpha [/mm] <0$:
Im Falle [m]\alpha < 0[/m] ist [m]f_{\alpha}[/m] ([m]f_{\alpha}: \IR \to \IR[/m], [m]f_{\alpha}(x)=\alpha x+e^x[/m]) aber nicht surjektiv; d.h., dann gibt es (mindestens) ein [m]y_{\alpha} \in \IR[/m], so dass für alle [m]x \in \IR[/m]:
[m]y_{\alpha}=\alpha x+e^x[/m] keine Lösung hat.
Zunächst mal mußt du beachten, dass im Falle [m]\alpha < 0[/m] gilt:
(1) [m]\lim_{x \to -\infty}f_{\alpha}(x)=+\infty[/m] und
(2) [m]\lim_{x \to -\infty}f_{\alpha}(x)=+\infty[/m]; daher erhalten wir also keine Argumentationsmöglichkeit analog zum Fall [m]\alpha > 0[/m]; also vermuten wir einfach mal, dass [m]f_{\alpha}[/m] nicht surjektiv ist (falls [mm] $\alpha [/mm] < 0$).
Nun machen wir uns mal Gedanken zu der Ableitung von [m]f_{\alpha}[/m]:
Es ist [mm] $f'_{\alpha}(x)=\alpha+e^x$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Hat [mm] $f'_{\alpha}$ [/mm] eine Extremalstelle [mm] $x_{extr.}$ ($x_{extr.}$ [/mm] darf von [mm] $\alpha$ [/mm] abhängig sein!)? Falls ja, dann muss doch:
[m]f'_{\alpha}(x_{extr.})=0[/m] sein, d.h.:
[m]\alpha+e^{x_{extr.}}=0[/m]. Da wir nun aber den Fall [mm] $\alpha [/mm] < 0$ betrachten, können wir (da dann [mm] $-\alpha [/mm] > 0$ gilt) einen solchen Kandidaten berechnen:
[m]\alpha+e^{x_{extr.}}=0[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $e^{x_{extr.}}=\underbrace{-\alpha}_{>0}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_{extr.}=\ln(\underbrace{-\alpha}_{>0})$.
[/mm]
[mm] $x_{extr.}=\ln(-\alpha)$ [/mm] ist also ein Kandidat für eine (lokale) Minimalstelle von [m]f_{\alpha}[/m] (falls [mm] $\alpha [/mm] <0$) und es gilt:
[mm] $-\infty [/mm] < [mm] x_{extr.} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] $f''_{\alpha}(x)=e^x [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$, [/mm] was wiedrum heißt:
[mm] $f''(x_{extr.})>0$, [/mm] woraus folgt, dass [m]f_{\alpha}[/m] an [m]x_{extr.}[/m] eine lokale Minimalstelle hat. Weil nun aber [mm] $f_{\alpha}$ [/mm] diff'bar auf [m]\IR[/m] (und damit auch stetig auf [mm] $\IR$), [/mm] es genau eine lokale Minimalstelle von [m]f_{\alpha}[/m] gibt und weil:
[m]\lim_{x \to -\infty}f_{\alpha}(x)=+\infty=\lim_{x \to \infty}f_{\alpha}(x)[/m] gilt, hat [mm] $f_{\alpha}$ [/mm] an [m]x_{extr.}=\ln(-\alpha)[/m] tatsächlich ein globales Minimum. Dann aber gilt für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[m]f_{\alpha}(x) \ge f_{\alpha}(x_{extr.})=\alpha\, x_{extr.}+e^{x_{extr.}}=\alpha\,\ln(-\alpha)-\alpha[/m].
D.h. für z.B. [m]-\infty < \blue{y_{\alpha}:=(\alpha\,\ln(-\alpha)-\alpha-2) } <\alpha\,\ln(-\alpha)-\alpha< \infty[/m] hat die Gleichung:
[m]y_{\alpha}=\alpha x+e^x[/m] keine reelle Lösung $x$, was insbesondere heißt, dass
[mm] $y=\alpha x+e^x$ [/mm] im Falle [mm] $\alpha [/mm] <0$ nicht für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] eine relle Lösung $x$ hat.
Was also bis jetzt bewiesen wurde:
Im Falle [mm] $\alpha \le [/mm] 0$ hat die Gleichung [m]y=\alpha x+e^x[/m] nicht für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] eine reelle Lösung $x$.
Für den Fall [mm] $\alpha [/mm] > 0$ habe ich dir den Beweis, dass dann die Gleichung [m]y=\alpha x+e^x[/m] für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] (mindestens) eine reelle Lösung $x$ hat, "im Prinzip" ganz oben schon hingeschrieben; du mußt nur noch alle Hinweise richtig zusammenfügen. Probiers mal!
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel
Besten Dank für deine Hilfe. Ich muss noch überlegen über deine Lösung. Wie denkst du über die Frage b) ?
Danke im Voraus
Sauerstoff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:20 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sauerstoff!
b. Für welche [mm] $\beta \in \IR$ [/mm] existieren für alle $z [mm] \in \IR$ [/mm] Lösungen der Gleichung [m] z=x^5 -\beta x [/m].
Naja, ist [mm] $\beta \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, so sei:
[mm] $g_{\beta}: \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $g_{\beta}(x):=x^5 -\beta [/mm] x$.
(1) [mm] $g_{\beta}$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] (Warum?)
(2) [mm] $\lim_{x \to -\infty}g_{\beta}(x)=-\infty$ [/mm] (Warum?)
(3) [mm] $\lim_{x \to \infty}g_{\beta}(x)=\infty$ [/mm] (Warum?)
Mit (1), (2) und (3) folgt dann wegen des Zwischenwertsatzes, dass [mm] $g_{\beta}$ [/mm] surjektiv ist.
Da [mm] $\beta \in \IR$ [/mm] beliebig war, ist jedes [mm] $g_{\beta}:\IR \to \IR$ [/mm] surjektiv
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Für alle [mm] $\beta \in \IR$ [/mm] gilt:
Für alle $z [mm] \in \IR$ [/mm] existieren reelle Lösungen $x$ der Gleichung [m]z=x^5 -\beta x [/m].
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel
Deine Lösung ist für mich sehr wertvoll. Für Fragen "warum?" habe ich so gedacht. Stimmt das?
Da $ [mm] g_\beta [/mm] (x) = [mm] x^5 [/mm] - [mm] \beta [/mm] x $ ein Polynom ist, ist auf [mm] \IR [/mm] stetig.
Aber $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x^5-\beta [/mm] x) = [mm] \infty [/mm] $ ???? habe ich nicht verstanden. Ist das möglich, das genau zu erklären?
Besten Dank
Sauerstoff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sauerstoff,
entschuldige die späte Antwort, aber es lag an dir:
Du hattest deine Rückfrage hier gestellt. Zufälligerweise habe ich das gesehen und sie nun dorthin verschoben, wo sie hingehört; nämlich hierhin. (Ich bin nicht moudi! )
> Hallo Marcel
>
> Deine Lösung ist für mich sehr wertvoll. Für Fragen
> "warum?" habe ich so gedacht. Stimmt das?
>
> Da [mm]g_\beta (x) = x^5 - \beta x[/mm] ein Polynom ist, ist auf [mm]\IR[/mm]
> stetig.
Ja, das ist ein richtiges Argument. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (x^5-\beta x) = \infty[/mm]
> ???? habe ich nicht verstanden. Ist das möglich, das genau
> zu erklären?
Ich versuche es mal ohne formalen Beweis, sondern nur mit einem "kleinen" Argument zu erklären:
In dem Ausdruck [mm] $x^5-\beta [/mm] x$ "dominiert" bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] das [mm] $x^5$. [/mm] Das heißt:
[mm] $\lim_{x \to \infty}(x^5-\beta x)=\lim_{x \to \infty}x^5=\infty$.
[/mm]
Naja, ich hoffe, dass du dieses Argument nachvollziehen kannst. Guck mal nach, was ihr in der Vorlesung über das Verhalten eines Polynoms bei [m]x \to \infty[/m] (bzw. $x [mm] \to -\infty$) [/mm] gelernt habt. Ich hoffe, ihr habt so etwas gelernt.
Ist dir denn klar, warum:
[mm] $\lim_{x \to -\infty}(x^5-\beta x)=-\infty$ [/mm] gilt?
Viele Grüße,
Marcel
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