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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Ermitteln Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung
[mm] z^{4} [/mm] = [mm] 0.5(i\wurzel{3} [/mm] - 1) |
Hallo,
irgendwie steh ich echt auf dem Schlauch. Also ich kann ja [mm] z^{4} [/mm] mit der Moivre
Formel ausdrücken, das ist kein Problem, aber ich schaffe es nicht die rechte
Seite in Polarkoordinaten darstellen.
Ich betrachte zunächst [mm] (i\wurzel{3} [/mm] - 1) =: a
Dann ist |a| = 2. Jetzt macht mir arg(a) Probleme. Ich muss es doch erstmal
in die Eulerform überführen und dann in die Polarkoordinatendarstellung. Wenn
ich jetzt einmal [mm] cos(\alpha)r [/mm] = x und das andere mal mit [mm] sin(\alpha)r [/mm] = y rechne,
kommen zwei verschiedene Winkel raus (wobei r = |a|, x = -1 und y = [mm] \wurzel{3}).
[/mm]
Einmal habe ich 120° und einmal 60°.
Wo ist mein Fehler???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
ich kann dir nicht genau sagen wo du dich verrechnet hast darum hier kurz ein paar Anmerkungen.
Ich würde zunächst mal ausmultiplizieren dann bekommt man
für den Betrag der Komplexen Zahl
[mm] \wurzel{3/4+1/4}=1 [/mm] Raus
Wenn du dir jetzt also die Zahl als Punkt in der Komplexen Ebene suchst und das entsprechende Dreieck einzeichnest, hat die Hypothenuse die Länge 1.
Die Ankathete entspricht dem Realteil der Komplexen Zahl,
die Gegenkathete dem Imaginärteil.
Daraus erhällst du [mm] sin(\alpha)=\wurzel{3}/2 [/mm] und [mm] cos(\alpha)=1/2 [/mm] wenn du jetzt deinen Taschenrechner nach den Arcusfunktionen fragst kommt er beide Male auf [mm] 1/3\pi [/mm] (Vorrausgesetzt du hast vorher auf radiens umgestellt)
hoffe der hilft fürs erste.
viele Grüße
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