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| Aufgabe | | folgende Gleichung ist FALSCH: [mm] ln(e^{x}+e^{y}) [/mm] = x+y || x,y >0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi,
also, dass die Gleichung falsch ist dachte ich mir schon, meine Frage gilt dem "warum"?
einzige rechenregel in der richtung wäre: lna +lnb = ln(ab) trifft aber offensichtlich nicht zu....
Frage: gibt es einen anderen Weg zu zeigen, warum die Formel nicht immer stimmig ist?
gruß
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> folgende Gleichung ist FALSCH: [mm]ln(e^{x}+e^{y})[/mm] = x+y || x,y >0
> hi,
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> also, dass die Gleichung falsch ist dachte ich mir schon,
> meine Frage gilt dem "warum"?
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> einzige rechenregel in der richtung wäre: lna +lnb = ln(ab) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> trifft aber offensichtlich nicht zu.... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
ich verstehe nicht, was du damit meinst ...
Zu zeigen, dass eine angebliche Regel falsch ist, ist oft
sehr viel einfacher als zu zeigen, dass eine Regel allgemein
gültig ist: ein einziges Gegenbeispiel genügt. Nimm für
x und y irgendwelche Phantasiezahlen, setze sie in die
Gleichung ein und rechne nach ! Wenn du nur ein
Beispiel findest, in dem die Gleichung nicht stimmt, ist die
Gleichung im Allgemeinen falsch.
Im vorliegenden Beispiel geht es wohl um eine Verwechslung
mit einer "benachbarten" gültigen Regel. Weil
[mm] e^x*e^y=e^{x+y}
[/mm]
gilt natürlich
[mm] ln(e^x*e^y)=ln(e^{x+y})=x+y
[/mm]
Diese Gleichung sagt aber etwas ganz anderes aus als die
zu diskutierende.
LG al-Chw.
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Hallo CleVer,
bisschen spät, aber dennoch: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !
In der Entwicklungsgeschichte der Mathematik ist die Logarithmenrechnung ein eher später Fund, entstanden im frühen 17. Jahrhundert.
Vorher war aus der Addition die Subtraktion entstanden (in vielen frühen Hochkulturen), aber es dauerte bis mindestens ins 14. Jahrhundert, bis das Konstrukt negativer und später ganzer Zahlen einigermaßen anerkannt wurde. Ähnlich erging es den rationalen Zahlen, nur wenig später zu datieren. In dieser Zeit (etwa Mitte 15. Jahrhundert) hättest Du über Sinn und Unsinn von Multiplikation und Division noch mitdiskutieren dürfen.
Letztlich ging es nur um eine vereinfachte Schreibweise: 3+3+3+3+3=5 mal 3. Dann die Division: wie oft geht 3 in 15? Das wurde praktischerweise formalisiert. Andere hatten das lange vorher getan, aber sie waren dafür entweder angefeindet oder ignoriert worden.
Wir wissen nicht, wer die Potenzschreibweise erfand. Das war nur ein weiterer Schritt: 5*5*5*5=5 hoch 4. Leicht auszurechnen: 625 war und ist das Ergebnis.
Mit der Potenzschreibweise (Mitte 16.Jahrhundert in verschiedenen Notationen) kam zum ersten Mal eine schon im Ansatz nicht kommutativ zu gestaltende Rechenart ins Spiel 5-3 war ja noch als -3+5 zu schreiben (ebenfalls äußerst umstritten!), aber es gab und gibt keine Möglichkeit, eine sinnvolle allgemeine Beziehung zwischen [mm] a^b [/mm] und [mm] b^a [/mm] herzustellen.
Für [mm] a^b=c [/mm] war schnelle eine Umkehrung gefunden: [mm] a=\wurzel[b]{c}. [/mm]
Schon Francois Viète, besser bekannt als Vieta, arbeitete damit, allerdings nur bis zum Exponenten 4.
Es dauerte die wissenschaftsgeschichtlich lange Zeitspanne (jedenfalls für diese Zeit) eines ganzen Jahrhunderts, bis John Napier die "andere" Umkehrung der Potenzen ausbaute. Er war sicher nicht der erste, machte seine Arbeit aber so gründlich, dass er zu Recht als "Vater der Logarithmen" gilt.
Die englische Aussprache des französischstämmigen Namens würde heutige Wissenschaftsmoderatoren vor eine nötige Herausforderung stellen. In Deutschland sprach man einfach von Neperschen Logarithmen, oder sogar Nepers Rechnung. John Napier suchte nach dem anderen Teil der Potenzrechnung, nicht der von der Wurzelrechnung erfassten Basis, sondern nach dem Exponenten: [mm] \log_a{c}=b.
[/mm]
Napier erkannte, wie sich die mittlerweile erkundeten Rechenregeln der Exponenten halfen, Rechnungen sozusagen um eine Ebene herunterzubrechen: aus dem Potenzieren wurde die Multiplikation, aus dem Wurzelziehen ein Stück Bruchrechnung, aus der Multiplikation eine Addition und schließlich aus der Division eine einfache Subtraktion.
Das war ein großer Fund. Viele bis dahin unmögliche Berechnungen wurden zum Kinderspiel, zumal, als Logarithmentabellen erschienen. Im Lauf der Zeit wurden grobe Rechenfehler getilgt, und im 19. Jahrhundert hätte kein Ingenieur ohne solche Tabellen arbeiten können. Sie waren bis in die frühen 1980er Jahre in Gebrauch. In meine Schulzeit (1969-1981) fiel der Startschuss des Übergangs von den Logarithmentabellen zum Taschenrechner. In der Mittelstufe wurden wir noch in den "Rechenschieber" eingewiesen, eine mechanische Rechenhilfe auf Basis logarithmischer Skalen; in der Oberstufe waren bereits akzeptable Taschenrechner zugelassen, die auch "komplizierte" mathematische Funktionen (wie n-te Wurzeln, ln oder sin) näherungsweise numerisch berechnene konnten.
Der Rechenschieber ist die Basis des Triumphs des Ingenieurwesens, aber trotz der "Reduktion der Rechenweisen um eine Stufe" [mm] (Potenzrechnung\rightarrow Multiplikation\rightarrow \a{}Addition) [/mm] blieb ein Problem: die Addition (und mit ihr die Subtraktion) war nicht weiter herunterzubrechen. Die Logarithmenrechnung musste an der einfachsten Rechenart scheitern, die das menschliche Denken ersonnen hatte.
Zwar ist log(2+3) leicht zu bilden, solange das Argument in Zahlen vorliegt. Man bildet halt erst die Summe, und findet danach log(5). Aber es gibt keine allgemeine Regel, so dass log(a+b) nicht zu bestimmen ist, ohne dass a und b bekannt sind.
In Deiner Gleichung ist besonders irreführend, dass der Logarithmus als natürlicher daherkommt (ln), und [mm] a=e^x, b=e^y [/mm] gerade aussehen wie die Umkehrfunktion des ln. Aber sie werden summiert, und da ist die Grenze der Fähigkeiten und Möglichkeiten der Logarithmenrechnung überschritten. Das ist nicht weiter aufzulösen.
Ich hoffe, dieser gar nicht kurze Exkurs bringt Dich dazu, den Grund für diese Nicht-Auflösbarkeit einer Summe im Argument eines beliebigen Logarithmus nachvollziehen zu können.
Grüße,
rev
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