Gleichung, Korrektheit prüfen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 So 03.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo,
Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] \frac{\arctan y -1}{y-\pi/4} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x^2}
[/mm]
für jedes y [mm] \in [/mm] (0, [mm] \pi/4 [/mm] ) eine Lösung x [mm] \in [/mm] (y, [mm] \pi/4) [/mm] hat. |
Meine Idee war den Mittelwertsatz anzuwenden, aber ich bin mir unsicher welche die geeignete Funktion ist. Habe es einige male versucht, aber ich komme nie auf etwas sinnvolles. Kann mir vlt wer verraten auf welche Funktion ich den Mittelwertsatz anwenden sollte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie waer es mit [mm] x^2=..
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 So 03.06.2012 | | Autor: | sissile |
Aber an welcher stelle?
Wenn du mir das noch verraten könntest, wäre ich glücklich^^
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber an welcher stelle?
> Wenn du mir das noch verraten könntest, wäre ich
> glücklich^^
> LG
$$ [mm] \frac{\arctan y -1}{y-\pi/4} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x^2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 1+x^2=\frac{y-\pi/4}{\arctan(y)-1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2=\frac{y-\pi/4}{\arctan(y)-1}-1\,.$$
[/mm]
Nun ist [mm] $x:=\sqrt{\frac{y-\pi/4}{\arctan(y)-1}-1}$ [/mm] vielleicht geeignet, wenn man begründen kann, dass der Ausdruck unter der Wurzel [mm] $\ge [/mm] 0$ ist und man begründet, dass er dort liegt, wo er laut Aufgabe liegen soll. Aber ein bisschen was darfst Du ja auch machen. 
P.S.
Die Aufgabenstellung ist aber leider unsinnig - daher wirst Du Dir die Zähne ausbeißen, wenn Du versuchst, die Aussage zu beweisen!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]\frac{\arctan y -1}{y-\pi/4}[/mm] = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
> für jedes y [mm]\in[/mm] (0, [mm]\pi/4[/mm] ) eine Lösung x [mm]\in[/mm] (y, [mm]\pi/4)[/mm]
EDIT:
es soll sicher [mm]\frac{\arctan y -\pi/4}{y-1}[/mm] = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm] heißen.
> hat.
> Meine Idee war den Mittelwertsatz anzuwenden,
Hallo,
ja, mit dieser Idee solltest Du richtig liegen.
> aber ich bin
> mir unsicher welche die geeignete Funktion ist. Habe es
> einige male versucht, aber ich komme nie auf etwas
> sinnvolles.
Schade, daß Du nicht verrätst, was Du getan hast. Hätt' mich mal interessiert.
> Kann mir vlt wer verraten auf welche Funktion
> ich den Mittelwertsatz anwenden sollte?
Ist Dir klar, daß arctan(1)= [mm] \pi/4 [/mm] ?
Jetzt ist Dir die Funktion klar, oder?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 04.06.2012 | | Autor: | sissile |
Ja die Endpunkte sind doch gar nicht im Definitionsbereich von x und y.
Ich ich weiß noch immer nicht wie ich das mit dem mittelwertsatz mache, leduart meinte auf [mm] x^2 [/mm] aber da bleibt für mich die frage offen an welcher stelle.
LG
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> Ja die Endpunkte sind doch gar nicht im Definitionsbereich
> von x und y.
Hallo,
x und y haben keinen Definitionsbereich...
Funktionen haben einen Definitionsbereich.
Und der Definitionsbereich der arctan-Funktion ist auf jeden Fall so groß, daß sowohl [mm] \pi/4 [/mm] als auch jedes [mm] y\in [/mm] (0, [mm] \pi/4) [/mm] drinliegen.
Ist Dir der MWS richtig klar?
Vielleicht sagst Du mal, wie er lautet.
Dann können wir versuchen, ihn auf Deine Aufgabe zu übertragen.
> Ich ich weiß noch immer nicht wie ich das mit dem
> mittelwertsatz mache, leduart meinte auf [mm]x^2[/mm] aber da bleibt
> für mich die frage offen an welcher stelle.
Zu leduarts Vorschlag kann ich nichts sagen.
Vielleicht ist gemeint, daß Du nach x auflösen sollst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mo 04.06.2012 | | Autor: | sissile |
Mittelwertsatz
f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig und differenzierar auf (a,b)
=> [mm] \exists \varepsilon \in [/mm] ]a,b[ : [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] = f' [mm] (\epsilon)
[/mm]
Aber an welche Funktion wende ich diesen an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mittelwertsatz
> f:[a,b] -> [mm]\IR[/mm] stetig und differenzierar auf (a,b)
> => [mm]\exists \varepsilon \in[/mm] ]a,b[ : [mm]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm] =
> f' [mm](\epsilon)[/mm]
>
> Aber an welche Funktion wende ich diesen an?
Mit Verlaub, aber das glaube ich nicht !
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Gleichung $ [mm] \frac{\arctan y -1}{y-\pi/4} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{1+x^2} [/mm] $
für jedes y $ [mm] \in [/mm] $ (0, $ [mm] \pi/4 [/mm] $ ) eine Lösung x $ [mm] \in [/mm] $ (y, $ [mm] \pi/4) [/mm] $ hat.
Das riecht doch ausschließlich nach
f(t)=arctan(t)
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 04.06.2012 | | Autor: | sissile |
okay an der stelle [mm] \pi/4
[/mm]
$ [mm] \frac{f(y)-f(\pi/4)}{y-\pi/4} [/mm] $ = [mm] \frac{arctan y - 1}{y-\pi/4}
[/mm]
[mm] \exists \varepsilon: \frac{arctan y - 1}{y-\pi/4}=f' (\epsilon) [/mm] = [mm] 1/(1+\epsilon^2)
[/mm]
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Hallo,
> okay an der stelle [mm]\pi/4[/mm]
>
> [mm]\frac{f(y)-f(\pi/4)}{y-\pi/4}[/mm] = [mm]\frac{arctan y - 1}{y-\pi/4}[/mm]
>
> [mm]\exists \varepsilon: \frac{arctan y - 1}{y-\pi/4}=f' (\epsilon)[/mm]
> = [mm]1/(1+\epsilon^2)[/mm]
Ja, und [mm]\varepsilon\in ...[/mm] ??
Ein bisschen schöner solltest du das aufschreiben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 04.06.2012 | | Autor: | sissile |
Da war ich mir nicht sicher aber
arctan ist definiert [mm] \IR-> (-\pi/2, \pi/2)
[/mm]
also in dem bsp [mm] \epsilon \in [/mm] (0, [mm] \pi/4) [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Da war ich mir nicht sicher aber
> arctan ist definiert [mm]\IR-> (-\pi/2, \pi/2)[/mm]
> also in dem
> bsp [mm]\epsilon \in[/mm] (0, [mm]\pi/4)[/mm] oder?
ich denke, dass die Idee mit dem Mittelwertsatz so nicht greift - jedenfalls nicht so, wie man es hier wollte. Denn es gilt gar nicht [mm] $\arctan(\pi/4)=1\,.$ [/mm] Wenn das gelten würde, wäre ja [mm] $\tan(1)=\pi/4\,.$ [/mm] Hier hat der Aufgabensteller sicher extra eine Falle gestellt, um Leute zu verwirren - man denkt nämlich direkt daran, dass [mm] $\tan(\pi/4)=1$ [/mm] gilt, und wenn man nicht aufpasst, verirrt man sich zu [mm] $\arctan(\pi/4)\red{=1}$ [/mm] - wo man doch viel eher zu [mm] $\arctan(\tan(\pi/4))=\pi/4=\arctan(1)$ [/mm] kommt...
P.S.
Mittlerweile habe ich bemerkt: Wenn der Aufgabensteller Leute verwirren wollte, dann, indem er eine Aufgabe stellt, deren Aussage schlichtweg total falsch ist. Ich denke, da sind Vertipper in der Aufgabe. In einer Mitteilung habe ich die Aufgabe, wie sie sinnvoll hätte gestellt werden können, formuliert.
P.P.S.
Nimmt man die von mir gegebene Aufgabenformulierung:
Mit Leduarts Vorgehen (naiv nach [mm] $x^2$ [/mm] auflösen und beachten, dass dann nur ein $x [mm] \ge [/mm] 0$ als Lösung bleiben kann) bekommt man dann explizit ein [mm] $x=\sqrt{\frac{y-1}{\arctan(y)-\pi/4}-1}\,,$ [/mm] und ich finde es toll, dass man mit dem MWS dann weiß, dass, wenn $y [mm] \in [/mm] (0,1)$ ist, dann auch dieses komische [mm] $x=\sqrt{\frac{y-1}{\arctan(y)-\pi/4}-1} \in [/mm] (y,1)$ liegen muss. Ob man letztstehende Folgerung:
$$0 < y < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] y < [mm] \sqrt{\frac{y-1}{\arctan(y)-\pi/4}-1} [/mm] < 1$$
auch anders schnell sehen könnte, weiß ich nämlich nicht - ganz elementar erscheint sie mir jedenfalls nicht!
Gruß,
Marcel
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Mittelwertsatz
> f:[a,b] -> [mm]\IR[/mm] stetig und differenzierar auf (a,b)
> => [mm]\exists \varepsilon \in[/mm] ]a,b[ : [mm]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm] =
> f' [mm](\epsilon)[/mm]
>
> Aber an welche Funktion wende ich diesen an?
edit wegen Quatsch: Es ist zwar [mm] $\arctan(1)=\pi/4\,,$ [/mm] aber doch NICHT [mm] $\arctan(\pi/4)=1$?!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:14 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Ist Dir klar, daß [mm]1=arctan(\pi/4)[/mm] ?
das ist aber leider falsch. Oder gilt [mm] $\tan(1)=\pi/4$? [/mm] Hier wird man in der Aufgabe schnell verwirrt:
Es gilt nämlich [mm] $\arctan(1)=\pi/4$!!
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
>
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]\frac{\arctan y -1}{y-\pi/4}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
> für jedes y [mm]\in[/mm] (0, [mm]\pi/4[/mm] ) eine Lösung x [mm]\in[/mm] (y, [mm]\pi/4)[/mm]
> hat.
das ist doch eine unsinnige Aufgabe:
Ich setze [mm] $y=\sqrt{3}/3 \in (0,\pi/4)\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $$\frac{\arctan(\sqrt{3}/3)-1}{\sqrt{3}/3-\pi/4}=\frac{1-\pi/6}{\pi/4-\sqrt{3}/3}=...=\frac{12-2\pi}{3\pi-4*\sqrt{3}}\,.$$
[/mm]
Diese Zahl ist $> [mm] 1\,.$ [/mm] (Ich hab's einfach mit dem TR ausgerechnet: $=2,289...$ kommt raus.)
Aber für JEDES $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist sicher [mm] $\frac{1}{1+x^2} \le 1\,.$
[/mm]
Daher: Die Aufgabenstellung in dieser Form ist UNSINN!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]\frac{\arctan y -1}{y-\pi/4}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
> für jedes y [mm]\in[/mm] (0, [mm]\pi/4[/mm] ) eine Lösung x [mm]\in[/mm] (y, [mm]\pi/4)[/mm]
> hat.
anschaulisch gelangt man super schnell zu dem Ergebnis, dass die Aussage unsinnig ist. Das zeigt der folgende Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Denn siehst Du irgendwo, dass die rote Kurve - innerhalb der beiden lilanen zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] parallelen Geraden - überhaupt mal einen Wert [mm] $\in [/mm] (0,1]$ annimmt? Nein? Ich auch nicht.
Aber [mm] $1/(1+x^2)$ [/mm] ist für $x [mm] \in \IR$ [/mm] sicher stets [mm] $\in (0,1]\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]\frac{\arctan y -1}{y-\pi/4}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
> für jedes y [mm]\in[/mm] (0, [mm]\pi/4[/mm] ) eine Lösung x [mm]\in[/mm] (y, [mm]\pi/4)[/mm]
> hat.
ist die Aufgabe vielleicht viel mehr:
Zeigen Sie, dass die Gleichung
[mm] $$\frac{\arctan(y)-\pi/4}{y-1}=\frac{1}{1+x^2}$$
[/mm]
für jedes $y [mm] \in [/mm] (0,1)$ eine Lösung $x [mm] \in [/mm] (y,1)$ hat?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:22 Mi 06.06.2012 | | Autor: | sissile |
Marcel, siehe : http://www.math.tuwien.ac.at/~winfried/teaching/103.088/WS201112/downloads/Analysis-I-Aufgabensammlung.pdf
S.43 Bsp 9.4.3
Liebe Grüße
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Hallo,
die haben ziemlich sicher versehentlich 1 und [mm] \pi/4 [/mm] vertauscht.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Marcel, siehe :
> http://www.math.tuwien.ac.at/~winfried/teaching/103.088/WS201112/downloads/Analysis-I-Aufgabensammlung.pdf
> S.43 Bsp 9.4.3
siehe Angelas Mitteilung. Ich habe nun wenigstens zwei Begründungen geliefert, warum die Aufgabenstellung in der dort gestellten Form nicht sinnvoll ist:
Einmal eine graphische und dann eine, die mit einer Abschätzung zeigt, dass es falsch ist, wobei konkret ein Gegenbeispiel angegeben wurde.
Auch Leute an der Uni machen halt mal Fehler
Gruß,
Marcel
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