Gleichung an Parabel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 16.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
ich verstehe eine Gleichung eines Artikels über die Parabel nicht. Es wäre nett, wenn mir dies jemand näher erklären könnte. Hier erst mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei handelt es sich um eine Parabel, deren Scheitel im Urspruch des Koordinatensystems liegt. Alle gleichen Winkel sind gleichgezeichnet eingetragen worden, d.h. alle Winkel mit einem "Bogen" bzw. mit zwei "Bogen" sind gleich. Desweiteren liegt [mm]PK[/mm] tangential an der Parabel im Punkt [mm]K[/mm] an. [mm]FP[/mm] steht senkrecht auf der Tangente [mm]PK[/mm].
Es lässt sich leicht nachweisen, dass gilt:
[mm]FA = FP \cos \angle AFP = FP \cos \angle PFK.[/mm]
Jetzt änderen wir unsere Sichtweise und betrachten die Tangente [mm]PK[/mm] als x-Achse. Wir bezeichnen den Brennpunkt [mm]F[/mm] mit [mm] F = (x,y)[/mm], wobei [mm] y = FP[/mm]. Nun beobachten wir, dass
[mm]\cos \angle PFK = \frac{dx}{ds}[/mm]
die Änderungsrate der Abzisse von [mm] F[/mm] bezüglich der Bogenlänge [mm]s[/mm] beschreibt.
Im letzten Satz liegt mein Verständnisproblem. Inwiefern beschreibt der Kosinus des Winkels die Änderungsrate der x-Kompononte von [mm]F[/mm] bzgl. der Bogenlänge?
Sicherlich haben wir, wenn wir mit [mm]K[/mm] auf der Parabel rumlaufen, immer einen anderen Winkel in [mm]\angle PFK[/mm]. Aber was hat dieser mit [mm]\frac{dx}{ds}[/mm] zu tun?
Viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Pauli
> Ich verstehe eine Gleichung eines Artikels über die Parabel nicht.> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dabei handelt es sich um eine Parabel, deren Scheitel im
> Ursprung des Koordinatensystems liegt. Alle gleichen Winkel
> sind gleichgezeichnet eingetragen worden, d.h. alle Winkel
> mit einem "Bogen" bzw. mit zwei "Bogen" sind gleich.
Wichtige Frage: Wurden denn diese Gleichheitsbeziehungen
der verschiedenen Winkel schon bewiesen ? Und dass z.B.
der Fußpunkt P des Lotes von F auf die Kurventangente
gerade mit deren x-Achsenschnittpunkt übereinstimmt ?
Darf man sich also im Weiteren auf diese Eigenschaften
stützen ?
> Desweiteren liegt [mm]PK[/mm] tangential an der Parabel im Punkt [mm]K[/mm]
> an. [mm]FP[/mm] steht senkrecht auf der Tangente [mm]PK[/mm].
>
> Es lässt sich leicht nachweisen, dass gilt:
> [mm]FA = FP \cos \angle AFP = FP \cos \angle PFK.[/mm]
> Jetzt
> änderen wir unsere Sichtweise und betrachten die Tangente
> [mm]PK[/mm] als x-Achse. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wenn dies eine andere als die "alte" x-Achse sein soll, so
ist es zumindest ungeschickt, sie auch wieder als "x-Achse"
zu bezeichnen. Ich würde für das neu einzuführende Koordi-
natensystem z.B. die neuen Koordinaten u und v vorschlagen !
Wir bezeichnen den Brennpunkt [mm]F[/mm] mit [mm]F = (x,y)[/mm],
> wobei [mm]y = FP[/mm].
(Spätestens hier drohen wirklich echte Missverständnisse !)
> Nun beobachten wir, dass
> [mm]\cos \angle PFK = \frac{dx}{ds}[/mm]
> die Änderungsrate der
> Abzisse von [mm]F[/mm]
Welche Abszisse soll hier gemeint sein ?
Wo soll eigentlich der Ursprung des neuen (u-v -) Koor-
dinatensystems liegen ?
> bezüglich der Bogenlänge [mm]s[/mm] beschreibt.
>
> Im letzten Satz liegt mein Verständnisproblem. Inwiefern
> beschreibt der Kosinus des Winkels die Änderungsrate der
> x-Kompononte von [mm]F[/mm] bzgl. der Bogenlänge?
> Sicherlich haben wir, wenn wir mit [mm]K[/mm] auf der Parabel
> rumlaufen, immer einen anderen Winkel in [mm]\angle PFK[/mm]. Aber
> was hat dieser mit [mm]\frac{dx}{ds}[/mm] zu tun?
Ich muss sagen, dass ich da auch nicht wirklich mitkomme.
Vielleicht wäre es am besten, wenn du uns die Quelle
des Ganzen angibst, damit wir selber nachschauen können,
um was es genau geht.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 16.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Hi,
danke erst mal für deine Antwort.
> Wichtige Frage: Wurden denn diese Gleichheitsbeziehungen
> der verschiedenen Winkel schon bewiesen ? Und dass z.B.
> der Fußpunkt P des Lotes von F auf die Kurventangente
> gerade mit deren x-Achsenschnittpunkt übereinstimmt ?
>
> Darf man sich also im Weiteren auf diese Eigenschaften
> stützen ?
Es wurden nur die Winkel mit den zwei "Bogen" angegeben. Die restlichen habe ich eingezeichnet. Diese ergeben sich ja jeweils durch die rechten Winkel. Die Gleichheit der Winkel mit den zwei "Bogen" folgt aus der Brennpunkteigenschaft der Parabel.
Auch, dass der Punkt P immer auf der x-Achse liegt, ist vorgegeben (und der Punkt P ist immer Fußpunkt des Lotes von F und liegt auch auf der Tangente).
Also ja, man darf all dies verwenden.
> Ich muss sagen, dass ich da auch nicht wirklich mitkomme.
> Vielleicht wäre es am besten, wenn du uns die Quelle
> des Ganzen angibst, damit wir selber nachschauen können,
> um was es genau geht.
Ich habe ein paar Informationen weggelassen, da ich glaubte, diese seien irrelevant für die Berechnung der Gleichung. Vielleicht lag ich da falsch. Im Detail handelt es sich um eine Parabel, die auf der eingezeichneten Tangente abrollen soll (deswegen wird diese als neue "x-Achse" bezeichnet). Den Brennpunkt F verfolgt man dabei und dieser zeichnet eine neue Kurve - eine Kettenlinie.
Die Quelle ist folgende
![[]](/images/popup.gif) Seite 1
Seite 2
Auf der ersten Seite geht es rechts beim 2. Abschnitt los. Auf der zweiten Seite ist erst mal nur die linke Hälfte relevant.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> danke erst mal für deine Antwort.
>
> > Wichtige Frage: Wurden denn diese Gleichheitsbeziehungen
> > der verschiedenen Winkel schon bewiesen ? Und dass
> z.B.
> > der Fußpunkt P des Lotes von F auf die Kurventangente
> > gerade mit deren x-Achsenschnittpunkt übereinstimmt ?
> >
> > Darf man sich also im Weiteren auf diese Eigenschaften
> > stützen ?
>
> Es wurden nur die Winkel mit den zwei "Bogen" angegeben.
> Die restlichen habe ich eingezeichnet. Diese ergeben sich
> ja jeweils durch die rechten Winkel. Die Gleichheit der
> Winkel mit den zwei "Bogen" folgt aus der
> Brennpunkteigenschaft der Parabel.
> Auch, dass der Punkt P immer auf der x-Achse liegt, ist
> vorgegeben (und der Punkt P ist immer Fußpunkt des Lotes
> von F und liegt auch auf der Tangente).
> Also ja, man darf all dies verwenden.
>
> > Ich muss sagen, dass ich da auch nicht wirklich mitkomme.
> > Vielleicht wäre es am besten, wenn du uns die Quelle
> > des Ganzen angibst, damit wir selber nachschauen
> können,
> > um was es genau geht.
>
> Ich habe ein paar Informationen weggelassen, da ich
> glaubte, diese seien irrelevant für die Berechnung der
> Gleichung. Vielleicht lag ich da falsch. Im Detail handelt
> es sich um eine Parabel, die auf der eingezeichneten
> Tangente abrollen soll (deswegen wird diese als neue
> "x-Achse" bezeichnet). Den Brennpunkt F verfolgt man dabei
> und dieser zeichnet eine neue Kurve - eine Kettenlinie.
>
> Die Quelle ist folgende
>
> Seite 1
>
> Seite 2
>
> Auf der ersten Seite geht es rechts beim 2. Abschnitt los.
> Auf der zweiten Seite ist erst mal nur die linke Hälfte
> relevant.
>
> Viele Grüße
Hallo zu später Stunde
danke für die Angabe der Quelle. Da wird klar,
um was es gehen soll. Die Darstellung bei Eells
ist aber sehr knapp. Er sagt z.B. auch gar nicht
genau, was er mit x bezeichnet. Auch ob das
Linienelement ds nun ein Linienelement entlang
der gegebenen Parabel sein soll oder doch das
Linienelement auf der Ortskurve, welche der
Brennpunkt F der Parabel in der Ebene bei der
Abrollung der Parabel auf der (in der Ebene
fixierten !) Tangente beschreibt.
Nichts gegen kompakte Formulierungen, aber in
diesem Paper habe ich auch etwas Mühe, mich
damit zurecht zu finden.
Für heute aber vorerst mal Schluss ...
LG , Al-Chw.
Ich konnte es nicht lassen, mir das Paper nochmals
anzugucken, und jetzt sehe ich wirklich ein
echtes Rätsel. Der Autor Eells schreibt:
Man kann da reingucken: Eells (Seite 2)
Da wird also zunächst ein neuer Blickpunkt
eingenommen: neu soll die Tangente PK die
Rolle der x-Achse spielen. Gleich zwei Zeilen später
ist aber die Rede von einem Winkel [mm] \alpha [/mm] , nämlich
dem Winkel , den die Tangente mit der x-Achse
bildet. Ist nun aber die Tangente identisch mit
der x-Achse, so ist doch einfach [mm] \alpha [/mm] = 0 !
Und damit wird der ganze Rest eigentlich ganz
sinnlos ...
Nun sehe ich 3 Möglichkeiten:
1.) ich bin im Moment definitiv zu müde
2.) Eells hat noch eine andere Zeichnung mit
einer anderen Tangente oder einer anderen x-Achse,
die aber leider im Paper nicht erscheint
3.) Eells hat sich wirklich einen Spaß draus
gemacht, einmal einen seltsamen Fehler in eine
(so hoffe ich) im Übrigen richtige Arbeit einzubauen
und mit Schalk darauf zu warten, bis jemand das
Papier so detailliert durchschaut und den vergrabenen
Hund findet ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
> Da wird also zunächst ein neuer Blickpunkt
> eingenommen: neu soll die Tangente PK die
> Rolle der x-Achse spielen. Gleich zwei Zeilen später
> ist aber die Rede von einem Winkel [mm]\alpha[/mm] , nämlich
> dem Winkel , den die Tangente mit der x-Achse
> bildet. Ist nun aber die Tangente identisch mit
> der x-Achse, so ist doch einfach [mm]\alpha[/mm] = 0 !
Ich vermute, dass hier nun von einer anderen Tangente die Rede ist. Nämlich die Tangente im Punkt F an der erzeugten Kettenlinie (welche nicht eingezeichnet ist). Diese Tangente schneidet dann irgendwo die PK-Tangente (bzw. x-Achse) und dort soll der Winkel [mm]\alpha[/mm] sein. Sieht auf dem Bild unten links auf der zweiten Seite auch so aus.
Aber ja, es ist ziemlich umständlich und verwirrend beschrieben.
Wie ich zu der Annahme komme? Irgendwie müssen wir ja den Bezug zur Kettenlinie, das heißt zur Spur des Punktes F, herstellen. Deswegen wird denke ich die Tangente an der Kettenlinie betrachtet. Dies ist aber nur meine Sicht, ich kann mich evtl. auch irren ;)
|
|
|
| |
|
> > Da wird also zunächst ein neuer Blickpunkt
> > eingenommen: neu soll die Tangente PK die
> > Rolle der x-Achse spielen. Gleich zwei Zeilen später
> > ist aber die Rede von einem Winkel [mm]\alpha[/mm] , nämlich
> > dem Winkel , den die Tangente mit der x-Achse
> > bildet. Ist nun aber die Tangente identisch mit
> > der x-Achse, so ist doch einfach [mm]\alpha[/mm] = 0 !
>
> Ich vermute, dass hier nun von einer anderen Tangente die
> Rede ist. Nämlich die Tangente im Punkt F an der erzeugten
> Kettenlinie (welche nicht eingezeichnet ist). Diese
> Tangente schneidet dann irgendwo die PK-Tangente (bzw.
> x-Achse) und dort soll der Winkel [mm]\alpha[/mm] sein. Sieht auf
> dem Bild unten links auf der zweiten Seite auch so aus.
> Aber ja, es ist ziemlich umständlich und verwirrend
> beschrieben.
> Wie ich zu der Annahme komme? Irgendwie müssen wir ja den
> Bezug zur Kettenlinie, das heißt zur Spur des Punktes F,
> herstellen. Deswegen wird denke ich die Tangente an der
> Kettenlinie betrachtet. Dies ist aber nur meine Sicht, ich
> kann mich evtl. auch irren ;)
Hallo Pauli
genau diese Idee hatte ich auch früher schon. Aber
insbesondere die Gleichung
[mm] $\frac{dx}{ds}\ [/mm] =\ [mm] \alpha [/mm] $
die im Paper steht, hat mich dann zuerst in die
Irre geführt. Diese Gleichung sollte so lauten:
[mm] $\frac{dx}{ds}\ [/mm] =\ [mm] cos(\alpha) [/mm] $
und [mm] \alpha [/mm] soll wirklich der Winkel zwischen der Tangente
an die Parabel (ich nenne sie p) , also der neuen x-Achse
und der Tangente an die gesuchte Bahnkurve von F sein.
Im linken Bild auf Seite 2 wird nun alles etwas klarer.
Der Winkel [mm] \alpha [/mm] ist da (sogar !) angeschrieben, und
man hat ein rechtwinkliges Dreieck (leider ist dessen
vertikale Kathete nicht eingezeichnet, und nur die
Ecke F ist beschriftet ...) SF'F (rechter Winkel bei F'),
in dem nun ablesen kann:
$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{\,|\overline{SF'}|\,}{\,|\overline{SF'}|\,}$
[/mm]
und
$\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{\,|\overline{FF'}|\,}{\,|\overline{SF'}|\,}$
[/mm]
Dieser Tangenswert entspricht der Ableitung $\ y'\ =\ [mm] \frac{dy}{dx}$ [/mm]
der Kurve k im aktuellen (in der Skizze abgebildeten)
Punkt F(x,y).
Bewegt sich nun F um ein (infinitesimales) Stücklein ds
entlang der Kurve k, so ergibt die Betrachtung der
Projektion dieses ds auf die x-Achse, dass sich das zuge-
hörige x gerade um $\ dx\ =\ ds * [mm] cos(\alpha)$ [/mm] bewegt. So hat man:
$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{dx}{ds} [/mm] $
Dies war der wesentliche Punkt bei den ganzen Überlegungen.
Nun kann man die Gleichung
$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{1+tan^2(\alpha)}}$
[/mm]
verwenden.
Man könnte stattdessen auch von der Gleichung
$\ ds\ =\ [mm] \sqrt{dx^2+dy^2}$ [/mm]
ausgehen und diese umformen.
Nach diesen Schritten kann man dann wohl die Lektüre
des Papers bei der Differentialgleichung
$\ c\ =\ [mm] y*\frac{dx}{ds}\ [/mm] =\ [mm] y*cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] y*\frac{1}{\sqrt{1+tan^2(\alpha)}}\ [/mm] =\ [mm] \frac{y}{\sqrt{1+y'^2}}$
[/mm]
wieder aufnehmen ...
So, ich denke, das war's dann mal soweit.
Schon ein wenig mühsam, wenn Autoren mathematischer
Schriften oft so wenig daran denken, dass Leser ihre
Texte auch gründlich verstehen möchten ...
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Vielen vielen Dank! Du hast mir schon sehr viel weitergeholfen :)
Ich frage mich aber im Moment noch, wieso nun das [mm]\alpha[/mm] gerade [mm]\angle PFK[/mm] sein soll? Oder war diese Gleichung auch "Mist"? Falls dies der Fall sein sollte, wie kommt dann die Gleichung [mm]c = y \frac{dx}{ds}[/mm] bzw. [mm]c = y \cos \alpha[/mm] zustande? Im Paper wird ja gesagt, dass [mm]c = \overline{FA}[/mm] und [mm]y = \overline{FP}[/mm] gilt. Wieso ist denn der Winkel zwischen den beiden (also [mm]\angle PFK[/mm]) gerade [mm]\alpha[/mm] (also der Winkel zw. Tangente und x-Achse)?
|
|
|
| |
|
> Vielen vielen Dank! Du hast mir schon sehr viel
> weitergeholfen :)
Gerne. Das Thema interessiert mich halt ebenfalls.
Vielleicht werde ich versuchen, mit GeoGebra eine
kleine Animation dazu zu erstellen, damit die
Zusammenhänge wirklich anschaulich werden.
> Ich frage mich aber im Moment noch, wieso nun das [mm]\alpha[/mm]
> gerade [mm]\angle PFK[/mm] sein soll? Oder war diese Gleichung auch
> "Mist"? Falls dies der Fall sein sollte, wie kommt dann die
> Gleichung [mm]c = y \frac{dx}{ds}[/mm] bzw. [mm]c = y \cos \alpha[/mm]
> zustande? Im Paper wird ja gesagt, dass [mm]c = \overline{FA}[/mm]
> und [mm]y = \overline{FP}[/mm] gilt. Wieso ist denn der Winkel
> zwischen den beiden (also [mm]\angle PFK[/mm]) gerade [mm]\alpha[/mm] (also
> der Winkel zw. Tangente und x-Achse)?
Ja, du hast recht, dass da eine weitere Idee noch
der Klärung bedarf. Man müsste also wissen, in welche
Richtung der Brennpunkt einer auf der in der Ebene
fixierten Tangente abgerollten Parabel (oder auch
ein starr mit irgendeiner anderen glatten Kurve
verbundener Punkt) sich jeweils momentan bewegt.
Dazu hilft folgende geometrische Betrachtung:
in dem Moment (ich denke mir dabei ein sehr
kleines bzw. "infinitesimales" Zeitintervall), wo
die Parabel die Tangente (x-Achse) im Punkt K
berührt, wird die momentane Bewegung der gesamten
Parabel (samt Brennpunkt) am besten (in zweiter
Ordnung) angenähert durch eine Drehbewegung
mit einem Zentrum, das auf der Geraden FK liegt.
Diese Idee könnte man noch ausführlicher begründen.
Wenn wir also die momentane Bewegung des Punktes
F in Bezug auf die fixierte Parabeltangente betrachten,
können wir annehmen, dass dies in zweiter Näherung
dasselbe ist, als ob der Punkt sich auf einem Kreis mit
Zentrum irgendwo auf der Geraden FK oder auch
(linearisiert, also in erster Ordnung) entlang der
dortigen Kreistangente bewegen würde.
Und damit haben wir dann auch eine konkrete
Angabe darüber, wie wir die Tangente an die Bahn-
kurve von F in diesem Moment einzeichnen müssen.
Sie verläuft orthogonal zur Verbindungslinie FK !
Damit lassen sich die Zeichnungen in sinnvoller
(und meines Erachtens notwendiger) Weise ergänzen.
So, ich denke, damit kommen wir so langsam ans
Ende des Dickichts. Die Idee mit dem (momentanen)
Krümmungsmittelpunkt ist Eells den potentiellen
Lesern seines Artikels leider auch schuldig geblieben.
Ich habe da so die leise Vermutung, dass er sich
mit solcher Nichtbeachtung wichtiger Details möglicher-
weise unbewusst an gewissen seiner eigenen Lehrer
rächen will, die ihm die Dinge auch nicht besser
erklärt haben ...
Schönen Abend !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 18.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Dies würde auch zu einem Satz passen, den ich im Buch "Differential Geometry and It's Applications" von John Oprea gefunden habe:
"A general property of this sort of roulette is the fact that the direction of the normal to the curve traced by F passes through the point of contact with the line."
Leider wurde hierzu kein Beweis angegeben.
Könnte dieser evtl. so aussehen:
Sei F(t) die Kurve, welche durch die Spur von F erzeugt wird und K(t) die Kurve, welche durch die Spur von K erzeugt wird (beachte, dass K nun fest auf der Parabel fixiert ist). In dem Punkt, in dem K die x-Achse berührt (also die PK-Tangente), hat K(t) die Geschwindigkeit Null, denn wir rollen die Parabel um den Punkt K ab. Das heißt K'(t) = 0.
Da F und K fixiert sind ist der Abstand |F(t) - K(t)| konstant in jedem Zeitpunkt. Nun gilt also:
[mm] 0 = \frac{d}{dt} (F(t) - K(t))^2 = (F(t) - K(t)) \cdot (F'(t) - K'(t)) = (F(t) - K(t)) \cdot F'(t).[/mm]
Daraus folgt, dass [mm]\overline{FK}[/mm] senkrecht auf F' steht. Somit ist [mm]\overline{FK}[/mm] die Normale der Bahnkurve.
Nun lässt sich doch auch wie folgt argumentieren:
Die Tangente im Punkt F an der Bahnkurve schneidet die x-Achse irgendwo mit Winkel [mm]\alpha[/mm]. Wir wissen inzwischen, dass für diesen Winkel gilt: [mm]\alpha = \angle PFK[/mm]. Sei nun die Bahnkurve nach Bogenlänge parametrisiert, also [mm]F(s)=(x(s),y(s))[/mm]. Dann ist die Einheitstangente im Punkt F der Bahnkurve gleich [mm]T = (\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds})[/mm]. Nun wenden wir das Skalarprodukt an: [mm]\cos \alpha = \cos \angle PFK = = \frac{dx}{ds}[/mm].
So würden wir (falls ich jetzt nicht alles durcheinander gebracht habe) auch auf unsere Gleichung kommen.
|
|
|
| |
|
> Dies würde auch zu einem Satz passen, den ich im Buch
> "Differential Geometry and It's Applications" von John
> Oprea gefunden habe:
> "A general property of this sort of roulette is the fact
> that the direction of the normal to the curve traced by F
> passes through the point of contact with the line."
> Leider wurde hierzu kein Beweis angegeben.
>
> Könnte dieser evtl. so aussehen:
> Sei F(t) die Kurve, welche durch die Spur von F erzeugt
> wird und K(t) die Kurve, welche durch die Spur von K
> erzeugt wird (beachte, dass K nun fest auf der Parabel
> fixiert ist). In dem Punkt, in dem K die x-Achse berührt
> (also die PK-Tangente), hat K(t) die Geschwindigkeit Null,
> denn wir rollen die Parabel um den Punkt K ab. Das heißt
> K'(t) = 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da F und K fixiert sind ist der Abstand |F(t) - K(t)|
> konstant in jedem Zeitpunkt. Nun gilt also:
> [mm]0 = \frac{d}{dt} (F(t) - K(t))^2 = (F(t) - K(t)) \cdot (F'(t) - K'(t)) = (F(t) - K(t)) \cdot F'(t).[/mm]
Sehr schöne Überlegung !
Du hast da zwar einen Faktor 2 in der Ableitung ignoriert,
was aber hier ausnahmsweise keinen wirklichen Schaden
anrichtet wegen 2*0=0 ..... 
> Daraus folgt, dass [mm]\overline{FK}[/mm] senkrecht auf F' steht.
> Somit ist [mm]\overline{FK}[/mm] die Normale der Bahnkurve.
(Gilt aber eben nur unter der Voraussetzung, dass K gerade
der aktuelle Auflagepunkt der Parabel auf der x-Achse ist)
Ich habe mir dazu überlegt: der Auflagepunkt (also der
Berührungspunkt der auf der Tangente abrollenden
Kurve oder Figur) ist zu jedem Zeitpunkt das aktuelle
Rotationszentrum der momentanen Bewegung der
rollenden Figur. Das habe ich zur Probe auch konkret
nachgerechnet. Allerdings war ich dann etwas irritiert,
als ich feststellen musste, dass dieses momentane
Drehzentrum nicht übereinstimmt mit dem
Zentrum des Schmiegekreises an die Kurve F(t) im
aktuellen Punkt [mm] F(t_0) [/mm] !
> Nun lässt sich doch auch wie folgt argumentieren:
> Die Tangente im Punkt F an der Bahnkurve schneidet die
> x-Achse irgendwo mit Winkel [mm]\alpha[/mm]. Wir wissen inzwischen,
> dass für diesen Winkel gilt: [mm]\alpha = \angle PFK[/mm]. Sei nun
> die Bahnkurve nach Bogenlänge parametrisiert, also
> [mm]F(s)=(x(s),y(s))[/mm]. Dann ist die Einheitstangente im Punkt F
> der Bahnkurve gleich [mm]T = (\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds})[/mm].
> Nun wenden wir das Skalarprodukt an: [mm]\cos \alpha = \cos \angle PFK = = \frac{dx}{ds}[/mm].
> So würden wir (falls ich jetzt nicht alles durcheinander
> gebracht habe) auch auf unsere Gleichung kommen.
Gefällt mir. Muss es aber noch etwas genauer ansehen.
Ich war gerade daran, mir diese Sachen an dem (noch etwas
einfacheren und bekannteren) Fall des rollenden Rades
zu vergegenwärtigen. Die Eigenschaften der Zykloide(n)
waren natürlich auch schon in Studienzeiten mal ein Thema.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 18.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
> Ich habe mir dazu überlegt: der Auflagepunkt (also der
> Berührungspunkt der auf der Tangente abrollenden
> Kurve oder Figur) ist zu jedem Zeitpunkt das aktuelle
> Rotationszentrum der momentanen Bewegung der
> rollenden Figur. Das habe ich zur Probe auch konkret
> nachgerechnet.
Kannst du mir diese Rechnung vielleicht zeigen? Und ganz generell, kann man auch irgendwie rechnerisch zeigen, dass K'(t) = 0 gelten muss (im Zeitpunkt wenn K auf der x-Achse aufliegt)? Ich habe das bis jetzt nämlich nur ganz intuitiv angenommen, quasi von der Vorstellung her.
> Allerdings war ich dann etwas irritiert,
> als ich feststellen musste, dass dieses momentane
> Drehzentrum nicht übereinstimmt mit dem
> Zentrum des Schmiegekreises an die Kurve F(t) im
> aktuellen Punkt [mm]F(t_0)[/mm] !
Muss es das denn? Eventuell verstehe ich dich auch falsch, aber das Drehzentrum K zu dem Zeitpunkt muss doch nicht das Zentrum des Schmiegekreises von [mm]F(t_0)[/mm] sein, oder doch? Ich sehe da nämlich momentan noch keinen Zusammenhang.
> Gefällt mir. Muss es aber noch etwas genauer ansehen.
Ich bitte drum :D Denn gerade bei der Darstellung meiner Tangente [mm]T = (\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds})[/mm] bin ich mir noch unsicher, ob ich das einfach so machen kann.
Viele liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Guten Abend
> > Ich habe mir dazu überlegt: der Auflagepunkt (also der
> > Berührungspunkt der auf der Tangente abrollenden
> > Kurve oder Figur) ist zu jedem Zeitpunkt das aktuelle
> > Rotationszentrum der momentanen Bewegung der
> > rollenden Figur. Das habe ich zur Probe auch konkret
> > nachgerechnet.
Eigentlich kannte ich diese Eigenschaft schon seit
langer Zeit, vermutlich aus Differentialgeometrie
oder theoretischer Physik (Kinematik starrer Körper).
Nachgerechnet habe ich es jetzt nur am Beispiel
der rollenden Kreisscheibe - aber das bedeutet
keine wesentliche Einschränkung, da man im Fall
z.B. der Parabel anstatt dieser selbst zunächst mal
den entsprechenden Schmiegekreis betrachten kann.
Für den Nachweis benütze ich die Darstellung
$\ [mm] \pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{r*t-a*sin(t)\\r-a*cos(t)}$
[/mm]
( r= Schmiegekreisradius; t-Skala möglichst einfach
angepasst; a = Entfernung eines Punktes der Kreisscheibe
von deren Mittelpunkt)
dann berechne ich [mm] $\dot [/mm] x(t)$ und $ [mm] \dot [/mm] y(t)$ und stelle damit
die Gleichung der Normalen n zur Bahnkurve durch $\ P\ =\ [mm] \pmat{x(t) & y(t)}$ [/mm] auf:
$\ n:\ [mm] \dot x(t)*(x-x(t))\,+\,\dot [/mm] y(t)*(y-y(t))\ =\ 0$
und suche den Schnittpunkt dieser Normalen mit der
x-Achse (also y=0 einsetzen und x berechnen).
Lösung x(t)=r*t = x-Koordinate des Scheibenmittelpunkts
= x-Koordinate des Auflagepunkts. Da dies unabhängig von
der Lage des Punktes P auf der Kreisscheibe ist, muss der
Auflagepunkt, durch den alle diese Normalen verlaufen,
das aktuelle Rotationszentrum sein.
> Kannst du mir diese Rechnung vielleicht zeigen? Und ganz
> generell, kann man auch irgendwie rechnerisch zeigen, dass
> K'(t) = 0 gelten muss (im Zeitpunkt wenn K auf der x-Achse
> aufliegt)? Ich habe das bis jetzt nämlich nur ganz
> intuitiv angenommen, quasi von der Vorstellung her.
Mach ich eigentlich am liebsten auch einfach so. Zu
diesen Zeitpunkten macht ja K jeweils eine Spitze seiner
Bahnkurve (Umkehrpunkt). Zumindest auch wieder für
die Zykloide, die man bekommt, wenn man in der obigen
Gleichung noch a:=r setzt, kann man auch leicht verifizieren,
dass in diesen Zeitpunkten [mm] $\dot [/mm] x(t)\ =\ [mm] \dot [/mm] y(t)\ =\ 0$ gilt.
> > Allerdings war ich dann etwas irritiert,
> > als ich feststellen musste, dass dieses momentane
> > Drehzentrum nicht übereinstimmt mit dem
> > Zentrum des Schmiegekreises an die Kurve F(t) im
> > aktuellen Punkt [mm]F(t_0)[/mm] !
>
> Muss es das denn? Eventuell verstehe ich dich auch falsch,
> aber das Drehzentrum K zu dem Zeitpunkt muss doch nicht das
> Zentrum des Schmiegekreises von [mm]F(t_0)[/mm] sein, oder doch? Ich
> sehe da nämlich momentan noch keinen Zusammenhang.
Nun, beide Punkte sind jeweils Mittelpunkt eines Kreises,
der durch [mm] F(t_0) [/mm] geht. In diesem Punkt haben sie auch
dieselbe Tangente. Die beiden Mittelpunkte müssen
also auf der Normalen n zur gemeinsamen Tangente
im gemeinsamen Berührpunkt liegen. Es wollte mir
zunächst einfach nicht so recht in den Kopf, dass die
beiden Kreise trotzdem verschiedene Radien haben
können ...
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 20.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Vielen Dank, das klingt alles super und interessant!
Eine Frage habe ich noch, zu einem etwas älteren Post. Wahrscheinlich stehe ich da auf dem Schlauch, aber wieso gilt [mm]y' = \frac{dy}{dx} = \tan \alpha[/mm]?
Ich habe mir das so überlegt: Der Punkt F ist mit F=(x,y) gegeben und wir betrachten die Tangente als x-Achse (quasi das 2. Bild aus dem Paper). Desweiteren benutze ich die Bezeichnungen aus deinem Post. Die Punkte S und F' liegen also auf der x-Achse. Für S soll gelten S=(a,0). Wir wissen [mm]\tan \alpha = \frac{|\overline{FF'}|}{|\overline{SF'}|} = \frac{y}{x-a}[/mm]. Dies formen wir um und leiten auf beiden Seiten ab:
[mm](x-a) \tan \alpha = y[/mm]
[mm]\tan \alpha = \frac{dy}{dx}[/mm].
Nur bin ich mir da nicht sicher, weil der Punkt a bzw. S ja eigentlich auch abhängig vom Punkt F ist bzw. von x. Wahrscheinlich mache ich mir hier das Leben aber viel zu schwer und die Begründung ist eine ganz Andere.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank, das klingt alles super und interessant!
>
> Eine Frage habe ich noch, zu einem etwas älteren
> Post. Wahrscheinlich
> stehe ich da auf dem Schlauch, aber wieso gilt [mm]y' = \frac{dy}{dx} = \tan \alpha[/mm]?
>
> Ich habe mir das so überlegt: Der Punkt F ist mit F=(x,y)
> gegeben und wir betrachten die Tangente als x-Achse (quasi
> das 2. Bild aus dem Paper). Desweiteren benutze ich die
> Bezeichnungen aus deinem Post. Die Punkte S und F' liegen
> also auf der x-Achse. Für S soll gelten S=(a,0). Wir
> wissen [mm]\tan \alpha = \frac{|\overline{FF'}|}{|\overline{SF'}|} = \frac{y}{x-a}[/mm].
> Dies formen wir um und leiten auf beiden Seiten ab:
> [mm](x-a) \tan \alpha = y[/mm]
> [mm]\tan \alpha = \frac{dy}{dx}[/mm].
> Nur
> bin ich mir da nicht sicher, weil der Punkt a bzw. S ja
> eigentlich auch abhängig vom Punkt F ist bzw. von x.
> Wahrscheinlich mache ich mir hier das Leben aber viel zu
> schwer und die Begründung ist eine ganz Andere.
Du hast recht: S (und damit a) hängt tatsächlich auch
von der Lage von F auf seiner Bahnkurve ab: aber das
macht in diesem Fall gar nix ! Die Ableitung [mm] \frac{dy}{dx}
[/mm]
im Punkt F entspricht der Tangentensteigung, also der
Steigung der Geraden FS bezüglich der x-Achse (also
der Geraden SF' . Und diese Steigung entspricht dem
Tangenswert des Winkels [mm] \alpha [/mm] zwischen SF' und SF .
Die zusätzliche Abhängigkeit z.B. zwischen a und der
Lage von F würde sich erst in der zweiten Ableitung
ausdrücken.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Da habe ich ja wirklich auf dem Schlauch gestanden ;)
Vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße
|
|
|
|
![[]](http://link.springer.com/static-content/lookinside/233/art%253A10.1007%252FBF03023575/000.png){kind=small}
Seite 1![[]](http://link.springer.com/static-content/lookinside/233/art%253A10.1007%252FBF03023575/001.png){kind=small}
Seite 2