Gleichung aufstellen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 31.03.2011 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Ein Teich kann höchstens 1000 Fischen Lebensraum geben. Am Anfang sind nur 10 Fische im Teich. Diese vermehren sich so, dass die Wachstumsrate pro Jahr 10% des Unterschiedes zwischen 1000 und dem betreffenden Fischbestand ist.
Geben Sie die Funktion an, die den Fischbestand beschreibt. |
Hallo!
Ich habe mir Folgendes überlegt:
Grenzwert: 1000
Anfangswert: 10
Wachstumsrate: 0,1 * (1000- f(t))
Die Funktion würde also lauten:
f(t)= 1000-990e^-0,1*(1000-f(t))*t
Wie jedoch kann ich das k vereinfachen? Oder ist es falsch? Kann man die Wachstumsrate noch irgendwie sinnvoller ausdrücken?
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus,
coucou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 31.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn [mm] f_k [/mm] die Anzahl der Fische im Teich nach k Jahren bedeutet, sieht die Wachstumsfunktion so aus:
[mm] f_{k+1}=f_k+\bruch{1000-f_k}{10}=\bruch{9}{10}f_k+100 [/mm] und [mm] f_0=10
[/mm]
und die Lösung der Gleichung lautet [mm] f_k=-990\left(\bruch{9}{10}\right)^k+1000
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 31.03.2011 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Leider verstehe ich nicht so ganz, wie man jetzt mit Hilfe der ersten beiden Angaben auf die Funktion an sich kommt und vor allem wieso man auf
[mm] \bruch{9}{10}f_k+100[/mm] [/mm] kommt?
Danke trotzdem schonmal für die Antwort. :)
Liebe Grüße,
coucou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 31.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ausdruck ist ziemlich falsch, du kannst doch f(t) nicht mit etwas angeben, in dem wieder f(t) vorkommt. die Wachstumsrate sagt was ueber die Ableitung von f(t) aus.
Aber ueberleg erst mal in 3 Schritten: wieviel fische nach 1,2,3 Jahren dann algemein nach k Jahren.
Gruss leduart
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