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Hallo,
am Freitag sagte uns meine Lk-Lehrerin, dass in der Klausur wahrscheinlich eine Aufgabe sein wird aus einem gegebenen Graphen eine Funktionsgleichung zu ermitteln, bzw. einem Graphen eine Gleichung zuzuordnen. Hierbei geht es um gebrochenrationel Funktionen. Die Aufgabe wird ohne TR und in recht kurzer Zeit zu bearbeiten sein, d.h eine Funktionsuntersuchung bei gegebener Gleichung fällt weg.
Hier einmal das Arbeitsblatt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mir fehlt einfach der Ansatz bzw. was bestimmte Koeffizienten bei den Funktionen bewirken, wenn man es denn verallgemeinern kann. Es soll sich wohl um recht einfache beispiele handeln, trotzdem macht mir diese Aufgabe einige Probleme.
Lg,
exeqter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 So 07.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
was genau ist denn nun deine Frage?
Also, hier ein paar Beispiele zu den gebrochenrationalen Fuktionen und Tipps, wie man zu einer Funktionsgleichung kommen kann:
Du musst einmal unterscheiden zwischen waagerechten, schrägen und senkrechten Asymptoten:
1) Senkrechte Asymp.
Senkrechte bekommst du, wenn du dich einer Definitionslücke näherst. Def-Lücken findest du immer dort, wo der Nenner der Funktion eine Nullstelle (NS) hat.
Wenn du also z.B. einen Graph siehst, der eine senkrechte Asymptote bei x=2 hat, so muss der Nenner schonmal irgendetwas mit x-2 heißen, da, wenn du für x=2 einsetzt, im Nenner die 0 steht, und daraus dann eine senkrechte Asymptote folgt (im Normalfall). Es gibt auch noch hebbare Def-Lücken. Das wären solche Fälle, wo den Nenner rauskürzen kannst. Beispiel: [mm] $f(x)=x^2/x$ [/mm] Hier kannst du x rauskürzen und vereinfacht f(x)=x schreiben. Da musst du dann aber beachten, dass [mm] $D=\IR\backslash0$ [/mm] gilt. D.h. deine Funktion f sieht aus wie die Winkelhalbierende, hat aber bei x=0 eine hebbare Def-Lücke, d.h. du darfst bei x=0 nicht durchzeichnen (aber sowas nur am Rande).
Hast du nun zwei senkrechte Asympoteten, so kannst du du den Nenner durch Linearfaktoren darstellen. Hast du z.B. zwei Asympotetn bei x=1 und x=2 so muss der Nenner so aussehen wie $a(x-1)(x-2)$, wobei a irgendeine reele Zahl sein kann.
Ich denke, die Beispiele sollten reichen, um dir das Prinzip der senkrechten Asymptoten klar zu machen. Andere Sachen fallen mir dazu jetzt nicht mehr ein.
Nun gibt es noch zwei weitere Arten von Asymptoten:
2) Waagerechte Asymptoten
Diese kommen vor, wenn x gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] geht
Die kommen vor, wenn der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. Beispiel:
[mm] $f(x)=\frac{x^3+x^2+2}{x^3+2}$.
[/mm]
Um das am besten zu sehen kürzt man einfach mal den Zähler und Nenner durch den höchsten Grad, hier also durch [mm] $x^3$.
[/mm]
Dann sieht das ganze so aus: [mm] $f(x)=\frac{1+1/x+2/x^3}{1+2/x^3}$ [/mm]
Wenn du jetzt x gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] gehen lässt siehst du gleich, dass das ganze gegen 1 strebt, da die Brüche alle gegen Null gehen.
Das ist die einfachste Methode zu zeigen, gegen welchen Grenzwert das geht.
Stünde dort jetzt im Zähler z.B. [mm] $3x^3$ [/mm] so würde das ganze dann gegen 3 gehen.
Der zweite Fall: Grad des Zählerpolynoms ist kleiner als das des Nenners. Dann strebt das ganze gegen Null (kann man mit dem Trick wie oben nachweisen).
Dann der dritte Fall: Grad des Zählerpolynoms (ZP) größer als das des Nenners:
In diesem Fall gibt es keine waagerechte Asymptote mehr.
Beliebt ist der Fall, dass der Grad des ZP um eins größer ist als das des Nenners. Dann gibt es eine schräge Asymptote. Beispiel:
[mm] $f(x)=\frac{x^3+5x^2+2}{x^2-4}$
[/mm]
Hier kannst du nebenbei auch nochmal sehen, dass deine Funktion bei [mm] $x=\pm2$ [/mm] eine senkrechte Asymptote hat.
Teilen wir jetzt durch [mm] x^2 [/mm] (also immer durch das x mit der höchsten Potenz im Nenner):
[mm] $f(x)=\frac{x+5+2/x^2}{1-4/x^2}$
[/mm]
Wenn du x jetzt gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] gehen lässt, dann fallen ja die die Terme, wo x im Nenner steht weg.
Es bleibt also nur noch x+5 über. Und das ist dann genau die Gleichung für die schräge Asymptote.
Das ist ganz nützlich zu wissen, wenn du es mit schrägen Asymptoten zu tun hast.
Jetzt noch ein anderer Fall, in dem du keine schräge Asymptote hast:
[mm] $f(x)=\frac{x^4+3x^2+2}{x^2+5}$
[/mm]
Wenn du hier durch [mm] $x^2$ [/mm] teilst stellst du fest, dass im Zähler etwas quadratisches Überbleibt. Also wird der Graph sich einer Parabel anschmiegen....Nämlich genau der Parabel [mm] $x^2+3$. [/mm] Sowas kann auch immer passieren. Aber natürlich dann immer nur für große x.
Ich glaube, jetzt habe ich alles abgedeckt, was man über die Asymptoten wissen sollte.
Wenn du dieses alles verstanden hast, dann kannst du dies Sachen m.E. sehr leicht anwenden, wenn du dann z.B. nur die Asympoteten gegeben hast, kannst du mit den oben genannte Überlegungn relativ leicht die Funktionsgleichung aufstellen.
Probier es mal aus, und wenn du noch Fragen hast zu dieser Thematik, dann frag einfach weiter=)
LG
Kroni
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Hi,
also das ist schonmal super. VIelen Dank für deine Mühe. Ich denke das habe ich auch alles soweit begriffen.
Ich versuche das ganze jetzt mal auf Aufgabe 15 zu beziehen. Dabei sollen ja die Gleichungen den Graphen zugeordnet werden.
Also Bild 235/1.
Wir haben Def.-Lücken mit senkrechter Asymptote bei bei -1 und +1. D.h im Nenner muss irgendetwas stehen wie a*(x+1)*(x-1), da sehe ich sponten, dass antwort d) passen würde. Wie verhält es sich jetzt aber dabei mit der waagerechten Asymptoten bei y=-1 ? Eine Erklärung wäre, dass Zählergrad=Nennergrad und daher würde antwort d) wirklich passen. Richtig ?
Okay dann Bild 235/2
Ich sehe dass es eine schiefe Asymptote geben müsste, daher fallen mal alle Gleichungen mit Zählergrad kleiner oder gleich Nennergrad weg. Da es sich bei der Asymptoten um eine Gerade handelt, muss der Zählergrad um eins größer sein als der Nennergrad, also bleiben m.M.n. nur noch antwort h) und antwort i) über. Da jetzt noch eine senkrechte Asymptote bei -1 vorliegt, glaube ich, dass antwort i) richtig sein müsste.
Für die anderen geht es genau so weiter.
Nun Aufgabe 16
Ja, der linke Graph zuerst:
Ich habe eine senkrechte Asymptote bei 2, d.h im Nenner muss sowas stehen wie: x-2, dann habe ich noch eine waagerechte Asymptote bei x=1, daher komme ich zu dem schluss, dass [mm] f(x)=\bruch{x}{x-2} [/mm] ganz gut wäre.
Dann zum zweiten:
senkrechte Asymptote bei x=1, d.h im Nenner kann sowas stehen wie a*(x-1), ausserdem eine schiefe Asymptote, vermutlich mit der GLeichung y=x. Aus jeden fall zählergrad größer Nennergrad... Aber da komm ich nun nicht weiter.
Lg,
exeqter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 07.10.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hi,
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> also das ist schonmal super. VIelen Dank für deine Mühe.
> Ich denke das habe ich auch alles soweit begriffen.
Hi,
das ist schön=)
>
> Ich versuche das ganze jetzt mal auf Aufgabe 15 zu
> beziehen. Dabei sollen ja die Gleichungen den Graphen
> zugeordnet werden.
> Also Bild 235/1.
>
> Wir haben Def.-Lücken mit senkrechter Asymptote bei bei -1
> und +1. D.h im Nenner muss irgendetwas stehen wie
> a*(x+1)*(x-1), da sehe ich sponten, dass antwort d) passen
> würde. Wie verhält es sich jetzt aber dabei mit der
> waagerechten Asymptoten bei y=-1 ? Eine Erklärung wäre,
> dass Zählergrad=Nennergrad und daher würde antwort d)
> wirklich passen. Richtig ?
Fast. d) hat doch eine waagerechte Asymptote bei y=1 (kürze durch [mm] x^2 [/mm] und du siehst es).
Also musst du dir eine andere Lösung suchen. Hinweis: a kann auch -1 sein, also musst du auch die Lösungen in Betracht ziehen, die [mm] $1-x^2$ [/mm] im Nenner stehen haben.
Damit du gucken kannst, wie sich deine Funktion um die Null herum aussieht, bedenke, dass das quadrat einer sehr kleinen Zahl eine noch kleinere Zahl ist. Also Wenn du dann im Nenner [mm] $1-x^2$ [/mm] stehen hast, sieht der Graph der Funktion fast so aus wie das Zählerpolynom.
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> Okay dann Bild 235/2
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> Ich sehe dass es eine schiefe Asymptote geben müsste, daher
> fallen mal alle Gleichungen mit Zählergrad kleiner oder
> gleich Nennergrad weg.
>Da es sich bei der Asymptoten um
> eine Gerade handelt, muss der Zählergrad um eins größer
> sein als der Nennergrad, also bleiben m.M.n. nur noch
> antwort h) und antwort i) über.
Korrekt.
>Da jetzt noch eine
> senkrechte Asymptote bei -1 vorliegt, glaube ich, dass
> antwort i) richtig sein müsste.
Glaubst du, oder weist du? ;) (sry, aber das wäre jetzt die Antwort meines ehemaligen Lehrers gewesen*g*).
Das kannst du auch verifizieren: Bei x=-1 ist eine senkrechte Asymp.
Wenn du dich von links der -1 näherst, dann ist der Nenner negativ, d.h. der Graph geht nach minus unendlich.
Wenn du dich von rechts näherst dann hast du noch eine Zahl, die größer als 0 ist, so dass der Graph dann nach plus unendlich geht. Das passt soweit.
>
> Für die anderen geht es genau so weiter.
Korrekt. Erst gucken, welche Funktionen in Betracht kommen, und dann hinterher genauer nachdenken.
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> Nun Aufgabe 16
>
> Ja, der linke Graph zuerst:
>
> Ich habe eine senkrechte Asymptote bei 2, d.h im Nenner
> muss sowas stehen wie: x-2, dann habe ich noch eine
> waagerechte Asymptote bei x=1, daher komme ich zu dem
> schluss, dass [mm]f(x)=\bruch{x}{x-2}[/mm] ganz gut wäre.
Ja. Der Faktor vor den beiden x muss gleich sein, da man sonst nicht die waagerechte Asympotet bei x=1 hätte.
Die -2 muss dort stehen, da du eine senkrechte Asymp. hast.
Es kann nur noch sein, dass du im Zähler noch irgendeine Konstante stehen hast.
Ich habe jetzt aber mal grob den Punkt P(4;2) abgelesen.
f(4)=4/2=2, das passt also ungefähr.
>
> Dann zum zweiten:
>
> senkrechte Asymptote bei x=1, d.h im Nenner kann sowas
> stehen wie a*(x-1), ausserdem eine schiefe Asymptote,
> vermutlich mit der GLeichung y=x.
Ja, das sehe ich auch so.
>Aus jeden fall zählergrad
> größer Nennergrad... Aber da komm ich nun nicht weiter.
Nun, jetzt kannst du doch auch wieder ansetzen:
[mm] $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{d(x-1)}$
[/mm]
Auch hier muss gelten: a=d, damit du die Asymp. y=1x herausbekommst.
Das [mm] $x^2$ [/mm] kannst du dir herleiten, weil der Zählergrad um eins größer sein muss als das des Nenners.
Nun nimms du dir auch wieder einen Punkt her, z.B. f(4)=2 (grob abgelesen), und setzt das ein:
Wenn ich das möglichst einfach mache, sehe ich:
[mm] $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$
[/mm]
Einstezen:
f(4)=16/3. Das ist ungefähr gleich 5, und das passt dann nicht.
Also musst du dir ein paar Punkte nehmen und dann die Konstanten so bestimmen, dass diese passen.
LG
Kroni
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> Lg,
>
> exeqter
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Hi,
danke für die nächste Antwort.
Habe eben beim kontrollieren mit Funky-Plot auch gemerkt, dass der erste Graph Antwort c) entspricht. Eine mögliche Begründung wäre, wie du schon gesagt hast, die weitere waagerechte Asymptote bei y=1. Allerdings fällt mir dazu noch eine Frage ein. Wenn ich mir den Graphen von d) angucke, dann hab da ja im Prinzip eine um 6 in y-richtung nach unten verschoebene "Parabel" bzw. etwas parabelähnliches. In der Gleichung steht aber [mm] x^{2}+6, [/mm] wieso ist das so ? Weil man auch schreiben könnte [mm] (-1)*\bruch{-x^{2}-6}{x^{2}-1} [/mm] ?
Ja Aufgabe 16 ist so ein Ding... Da wir in diesem Teil der Klausur das CAS nicht venutzen dürfen, kommt mir das ziemlich "spanisch" vor... Da ist der zweite Graph doch ziemlich kompliziert.
Lg,
exeqter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 07.10.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hi,
>
> danke für die nächste Antwort.
>
> Habe eben beim kontrollieren mit Funky-Plot auch gemerkt,
> dass der erste Graph Antwort c) entspricht. Eine mögliche
> Begründung wäre, wie du schon gesagt hast, die weitere
> waagerechte Asymptote bei y=1. Allerdings fällt mir dazu
> noch eine Frage ein. Wenn ich mir den Graphen von d)
> angucke, dann hab da ja im Prinzip eine um 6 in y-richtung
> nach unten verschoebene "Parabel" bzw. etwas
> parabelähnliches. In der Gleichung steht aber [mm]x^{2}+6,[/mm]
> wieso ist das so ? Weil man auch schreiben könnte
> [mm](-1)*\bruch{-x^{2}-6}{x^{2}-1}[/mm] ?
Nein. Dann hast du ja trotzdem noch dort stehen [mm] $x^2+6$.
[/mm]
Guck dir mal den Nenner an und setzte mal für x die Null ein, dann weist du, woher die -6 kommt, und warum dort eine nach unten geöffnete Parabel zu sehen ist.
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> Ja Aufgabe 16 ist so ein Ding... Da wir in diesem Teil der
> Klausur das CAS nicht venutzen dürfen, kommt mir das
> ziemlich "spanisch" vor... Da ist der zweite Graph doch
> ziemlich kompliziert.
Naja, das stimmt schon.
Die Form kann man immer recht schnell nachvollziehen, den Rest muss man dann eben durch Probieren oder durch Rechnen herausbekommen.
LG
Kroni
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> Lg,
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> exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 So 07.10.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo nochmal,
ich wollte mich nochmal für deine Antworten bedanken, hat mir wirklich weitergeholfen.
Am Freitag ist ja erst die Klausur, d.h. bis dahin hab ich noch ausreichend zeit so etwas zu üben und ggf. Fragen zu stellen.
Lg,
exeqter
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