Gleichung bei Eigenwertbest. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden symmetrischen Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & -3 & -3 \\ -3 & 2 & -3 \\ -3 & -3 & 2 } [/mm] |
Hallo!
Wenn ich die Eigenwerte berechne schreibe ich doch die gegebene Matrix mit [mm] -\lambda [/mm] hinter jeder Zahl in der Hauptdiagonale auf, oder?
Danach muss ich dann von dieser Matrix die Determinante ermitteln.
Und da kommt eine Gleichung raus, die ich Null setzen muss.
Bei der Aufgabe habe ich nun als Gleichung:
[mm] \lambda³-6\lambda²+15\lambda+100 [/mm] = 0 .
Und wie komme ich nun auf die [mm] \lambda [/mm] ´s?
Mit probieren, ja...aber ich finde keine Zahl, die passt. :(
Gibts noch einen anderen Weg um auf die Eigenwerte zu kommen?
Danke schonmal für die Hilfe!
LG, Raingirl87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Di 26.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hallo Raingirl87,
um die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] der Matrix A zu berechnen, löst man das Gleichungssystem
[mm] A*v=\lambda*v [/mm] oder umgestellt [mm] (A-\lambda*I)*v=0 [/mm] für v.
Damit auch andere Lösungen als nur die triviale Lösung v=0 existieren muss [mm] det(A-\lambda*I)=0 [/mm] gelten.
Insofern stimmmt das, was Du da geschrieben hast.
Bei dem Characteristischen Polynom hat sich ein Rechenfehler eingeschlichen, es muss heißen
[mm] \lambda^3-6\lambda^2-15\lambda+100=0
[/mm]
Lösungen sind 2-mal die 5 und einmal die -4, also ist das Characteristische Polynom
[mm] (\lambda-5)^2*(\lambda+4)=0
[/mm]
Im allgemeinen kannst Du die Lösungen entweder durch raten oder durch ein Näherungsverfahren bestimmen. Hast Du eine Lösung, kann der Rest auch durch Polynomdivision und Quadratischergleichung gelöst werden. Jetzt musst Du eigentlich noch die Eigenvektoren bestimmen.
mfg ullim
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