Gleichung beweisen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:25 Fr 05.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | Beweise folgende Hilfssätze:
a) $ [mm] D_(\varphi \vee \psi) [/mm] = [mm] D_\varphi \cup D_\psi [/mm] $
b) $ [mm] D_(\varphi \wedge \psi) [/mm] = [mm] D_\varphi \cap D_\psi [/mm] $
c) [mm] $D_(\neg \varphi) [/mm] = [mm] D^c_\varphi [/mm] $. |
Dabei ist [mm] $D_\varphi [/mm] = [mm] \{x \in X: \varphi(x) \}$.
[/mm]
a) $ x [mm] \in D_(\varphi \vee \psi) \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \{x \in X: \varphi(x) \vee \psi (x) \} \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi [/mm] (x)) [mm] \Leftrightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \psi [/mm] (x)) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \{x \in X: \varphi (x)\} \vee [/mm] x [mm] \in \{x \in X: \psi (x)\} \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in D_\varphi \vee [/mm] x [mm] \in D_\psi \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in D_\varphi \cup D_\psi$
[/mm]
b) analog
c) $ x [mm] \in D_(\neg \varphi) \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \{x \in X: \neg \varphi (x)\} \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \neg \varphi [/mm] (x) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] X [mm] \vee \neg \varphi [/mm] (x)) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \varphi [/mm] (x)) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin \{x \in X: \varphi)} \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin D_\varphi \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in D^c_\varphi$
[/mm]
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
