Gleichung der Bildgeraden < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Gegeben ist die affine Abbildung
[mm] $\alpha: \vec [/mm] x'= [mm] \pmat{1&3\\6&-4}*\vec [/mm] x + [mm] \vektor{-5\\8}$
[/mm]
Bestimme die Gleichung der Bildgeraden $g'$ von
$g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vektor{5\\-3} [/mm] + [mm] r*\vektor{2\\1}$ [/mm] |
Ich weiß nicht, wie ich auf die Gleichung komme. Ich dachte mir ich müsste die GLeichung g mit der affinen Abbildung gleichsetzen, aber ich weiß nicht ob das der richtige Ansatz ist und wie ich dann weiter rechnen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe 2 | | Die affine Abbildung bildet $A (1/1)$ auf $A' (3/-2)$, $B (1/-1)$ auf $B'(3/0)$ und $C(-1/0)$ auf $C'(-3/-3)$ ab. Ermittle die Darstellung von [mm] \alpha. [/mm] |
Ich denke ich muss wieder auf eine ähnliche Funktionsvorschrift kommen wie bei der obrigen Aufgabe. Muss ich das an Hand eines LGS lösen oder wir kann ich hier zu einer Lösung gelangen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo smartgirl,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die affine Abbildung
>
> [mm]\alpha: \vec x'= \pmat{1&3\\6&-4}*\vec x + \vektor{-5\\8}[/mm]
>
> Bestimme die Gleichung der Bildgeraden [mm]g'[/mm] von
> [mm]g: \vec x = \vektor{5\\-3} + r*\vektor{2\\1}[/mm]
>
>
> Ich weiß nicht, wie ich auf die Gleichung komme. Ich dachte
> mir ich müsste die GLeichung g mit der affinen Abbildung
> gleichsetzen, aber ich weiß nicht ob das der richtige
> Ansatz ist und wie ich dann weiter rechnen muss.
Gleichsetzen passt irgendwie nicht (damit würde Du aber die Gerade erhalten, die durch [mm] $\alpha$ [/mm] auf g abgebildet wird -- auch mal eine interessante Sache  )
Affine Abbildungen funktionieren ja punktweise, d.h., sie bilden immer nur einen Punkt auf einen anderen Punkt, den Bildpunkt, ab.
Nun hattet Ihr bestimmt schon die schöne Eigenschaft affiner Abbildungen besprochen, dass diese geradentreu sind, also Geraden auf Geraden abbilden (genauer: Die Menge aller Punkte, die auf einer Geraden liegen, bilden nach Anwendung von [mm] $\alpha$ [/mm] wieder eine Gerade.)
Du könntest Dir also zwei Punkte der Gerade g aussuchen und diese unter [mm] $\alpha$ [/mm] abbilden -- die gesuchte Bildgerade verläuft auf jeden Fall durch diese beiden Bildpunkte und es dürfte daher kein Problem mehr für Dich darstellen, die Geradengleichung aufzustellen.
Eine weitere Variante wäre aber, die gesamte Geradengleichung in [mm] $\alpha$ [/mm] einzusetzen: Nach den Rechengesetzen für Matrizen (insbesondere die Linearitätseigenschaften) kannst Du den so erhaltenen Ausdruck nämlich recht schnell zu einer Parameterdarstellung einer Gerade umformen, die deswegen die gesuchte Bildgerade sein muss.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die affine Abbildung bildet [mm]A (1/1)[/mm] auf [mm]A' (3/-2)[/mm], [mm]B (1/-1)[/mm]
> auf [mm]B'(3/0)[/mm] und [mm]C(-1/0)[/mm] auf [mm]C'(-3/-3)[/mm] ab. Ermittle die
> Darstellung von [mm]\alpha.[/mm]
>
> Ich denke ich muss wieder auf eine ähnliche
> Funktionsvorschrift kommen wie bei der obrigen Aufgabe.
> Muss ich das an Hand eines LGS lösen oder wir kann ich hier
> zu einer Lösung gelangen?
Ja, ich sehe hier auch keinen schnelleren Weg, als zwei LGS mit jeweils drei Gleichungen und Unbekannten aufzustellen. Die beiden Gleichungssysteme entstehen durch Einsetzen aller Punkt und Bildpunkt-Paare in die allgemeine Form einer affinen Abbildung, also:
[mm] $\alpha: \vektor{x_1'\\x_2'}=\pmat{a_1&b_1\\a_2&b_2}*\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{c_1\\c_2}$
[/mm]
Bei Problemen oder weiteren Fragen melde Dich einfach wieder
Viel Erfolg,
Marc
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Hallo. Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt versucht die erste Aufgabe zu lösen. Stimmt das so? Oder habe ich das falsch verstanden?
[mm] \alpha [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = (1 3) * [mm] \vec{x} [/mm] + (-5)
(6 -4) (8)
Ich habe als Punkte P1 (5/-3) und P2 (2/1) gewählt. Diese liegen doch auf der Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = (5 )+ r* (2) oder?
(-3) (1)
Ich habe dann als Bildpunkt von P1 P1' (-9/50) raus und als BIldpunkt von P2 P2' (0 /16). Folglich lautet die Bildgerade:
g' [mm] \vec{x} [/mm] = (-9)+r* (0)
(50) (16)
Stimmt das oder habe ich mir das da zu einfach gemacht?
MFG
Smartgirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:59 Do 26.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Smartgirl,
> Hallo. Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt
> versucht die erste Aufgabe zu lösen. Stimmt das so? Oder
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> habe ich das falsch verstanden?
Ja, Du hast leider keine meiner beiden Lösungsvarianten angewendet bzw. Dich wahrscheinlich bei der Anwendung der ersten Variante vertan.
> [mm]\alpha[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = (1 3) * [mm]\vec{x}[/mm] + (-5)
> (6 -4) (8)
>
> Ich habe als Punkte P1 (5/-3) und P2 (2/1) gewählt. Diese
> liegen doch auf der Geraden g: [mm]\vec{x}[/mm] = (5 )+ r* (2)
> oder?
> (-3) (1)
[mm] $P_2$ [/mm] ist doch einfach nur der Richtungsvektor der Geraden! [mm] $P_2$ [/mm] ist kein Punkt, der auf der Geraden liegt.
> Ich habe dann als Bildpunkt von P1 P1' (-9/50) raus und als
> BIldpunkt von P2 P2' (0 /16). Folglich lautet die
> Bildgerade:
>
> g' [mm]\vec{x}[/mm] = (-9)+r* (0)
> (50) (16)
Hier derselbe Fehler rückwärts: Du kannst nicht einfach Punkte als Richtungsvektoren nehmen (sondern z.B. die Differenz der Ortsvektoren zweier Punkte)
> Stimmt das oder habe ich mir das da zu einfach gemacht?
Ja, Du hast irgendwie nicht nachgedacht, sondern nur irgendetwas eingesetzt...
Also, den zweiten Punkt [mm] $P_2$, [/mm] der auf der Geraden g liegen soll, hättest Du erst berechnen müssen, durch Einsetzen irgendeines Wertes für den Parameter r (ausser 0, weil Du damit den Stützvektor bzw. [mm] $P_1$ [/mm] erhältst). Da hättest Du z.B. r=1 wählen können und damit erhalten: [mm] $P_2(7 [/mm] | -2)$
Jetzt errechnest Du die Bilder [mm] $P_1'$, $P_2'$.
[/mm]
Diese beiden Punkte liegen auf jeden Fall auf der Bildgeraden g', deswegen kannst Du mit Ihnen die Parameterdarstellung ermitteln (nimm' die Koordinaten eines Punktes als Stützvektor, die Differenz (der beiden Ortsvektoren) von [mm] $P_1'$ [/mm] und [mm] $P_2'$ [/mm] als Richtungsvektor.
Ich rechne es nochmal vor, wähle dabei meinen zweiten Lösungsvorschlag, da dieser nur aus einer einzigen Rechnung besteht
[mm] $\alpha: \vec [/mm] x'= [mm] \pmat{1&3\\6&-4}*\vec [/mm] x + [mm] \vektor{-5\\8}$
[/mm]
$g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vektor{5\\-3} [/mm] + [mm] r*\vektor{2\\1}$
[/mm]
Einsetzen von g in [mm] $\alpha$:
[/mm]
[mm] $\alpha(g):\ \vec x'=\pmat{1&3\\6&-4}*\left( \red{\vektor{5\\-3}} + r*\blue{\vektor{2\\1}} \right) [/mm] + [mm] \vektor{-5\\8}$
[/mm]
[mm] $=\pmat{1&3\\6&-4}*\red{\vektor{5\\-3}} [/mm] + [mm] \pmat{1&3\\6&-4}*r*\blue{\vektor{2\\1}}+ \vektor{-5\\8}$
[/mm]
[mm] $=\red{\vektor{-4\\42}} [/mm] + r * [mm] \blue{\vektor{5\\8}}+ \vektor{-5\\8}$
[/mm]
[mm] $=\vektor{-9\\50} [/mm] + r * [mm] \vektor{5\\8}$
[/mm]
Du siehst also, dass Du nicht einfach Stütz- und Richtungsvektor der Geraden g in [mm] $\alpha$ [/mm] einsetzen kannst, um dann deren Bilder als Stütz- und Richtungsvektor der Bildgeraden g' zu nehmen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Do 26.10.2006 | | Autor: | Smartgirl |
Hallo.
Vielen Dank. Jetzt kann ich den Lösungsweg nachvollziehen. Ich habe ihn noch einmal für mich selbst berechnet und kam zum gleichen Ergebnis. Jetzt hab ich auch verstanden,was ich falsch gemacht hatte.
Danke und MFG
Smartgirl
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