Gleichung der Geraden in der E < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass die Gleichung der Geraden in der Ebene durch die beiden Punkte [mm] (a_1,b_1) [/mm] und [mm] (a_2,b_2) [/mm] gegeben ist durch
[mm] det\pmat{ x & a_1 & a_2 \\ y & b_1 & b_2 \\ 1 & 1 & 1 }=0
[/mm]
und verwende dies, um eine notwendige und hinreichende Bedingung zu formulieren, dass drei gegebene Punkte [mm] (a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_2,b_3) [/mm] der Ebene auf einer Geraden liegen. |
Da die Det ja gleich 0 ist, müsste das für die drei Vektoren (x,y,1), [mm] (a_1,b_1,1) [/mm] und [mm] (a_2,b_2,1) [/mm] heißen das diese linear abhängig sind. Die Gleichung der Geraden in Parameterform lautet meiner Meinung nach:
[mm] \vektor{x \\ y \\ 1}=\vektor{a_1 \\ b_1 \\ 1}+t*\vektor{a_2-a_1 \\ b_2-b_1 \\ 0}
[/mm]
Kann ich jetzt die Gleichung der Ebene bestimmen, beide gleichsetzen und dann die Determinante verwenden, oder gehe ich dieses Beispiel überhaupt falsch an?
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Hallo Omikron123,
> Zeige, dass die Gleichung der Geraden in der Ebene durch
> die beiden Punkte [mm](a_1,b_1)[/mm] und [mm](a_2,b_2)[/mm] gegeben ist durch
>
> [mm]det\pmat{ x & a_1 & a_2 \\ y & b_1 & b_2 \\ 1 & 1 & 1 }=0[/mm]
>
> und verwende dies, um eine notwendige und hinreichende
> Bedingung zu formulieren, dass drei gegebene Punkte
> [mm](a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_2,b_3)[/mm] der Ebene auf einer Geraden
> liegen.
> Da die Det ja gleich 0 ist, müsste das für die drei
> Vektoren (x,y,1), [mm](a_1,b_1,1)[/mm] und [mm](a_2,b_2,1)[/mm] heißen das
> diese linear abhängig sind. Die Gleichung der Geraden in
> Parameterform lautet meiner Meinung nach:
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ 1}=\vektor{a_1 \\ b_1 \\ 1}+t*\vektor{a_2-a_1 \\ b_2-b_1 \\ 0}[/mm]
>
> Kann ich jetzt die Gleichung der Ebene bestimmen, beide
> gleichsetzen und dann die Determinante verwenden, oder gehe
> ich dieses Beispiel überhaupt falsch an?
Nach den Punkten zu urteilen, bewegen wir uns im [mm]\IR^{2}[/mm].
Zunächst ist nachzuweisen, daß die Gleichung
[mm]det\pmat{ x & a_1 & a_2 \\ y & b_1 & b_2 \\ 1 & 1 & 1 }=0[/mm]
genau diese Gerade darstellt.
Gruss
MathePower
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Wie genau schauen jedoch die Parameterdarstellungen der Gerade und der Ebene aus, weil daraus kann ich ja dann zeigen das die Det=0 ist.
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Hallo Omikron123,
> Wie genau schauen jedoch die Parameterdarstellungen der
> Gerade und der Ebene aus, weil daraus kann ich ja dann
> zeigen das die Det=0 ist.
Die Parameterdarstellung der Geraden ist schon richtig.
Bei der Auflösung nach t mußt Du jedoch unterscheiden,
ob [mm]a_{2}-a{1}=0[/mm] oder [mm]a_{2}-a{1} \not=0[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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Ok, also die Parameterdarstellung muss dann lauten:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{a_1 \\ b_1}+t*\vektor{a_2-a_1 \\ b_2-b_1}
[/mm]
Falls [mm] a_2-a_1=0 [/mm] oder [mm] b_2-b_1=0 [/mm] => t=0,
Falls [mm] a_2-a_1\not=0 [/mm] und [mm] b_2-b_1=0 \not=0 [/mm] => [mm] t=\bruch{x-a_1}{a_2-a_1}=\bruch{y-b_1}{b_2-b_1}
[/mm]
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Hallo Omikron123,
> Ok, also die Parameterdarstellung muss dann lauten:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{a_1 \\ b_1}+t*\vektor{a_2-a_1 \\ b_2-b_1}[/mm]
>
> Falls [mm]a_2-a_1=0[/mm] oder [mm]b_2-b_1=0[/mm] => t=0,
> Falls [mm]a_2-a_1\not=0[/mm] und [mm]b_2-b_1=0 \not=0[/mm] =>
> [mm]t=\bruch{x-a_1}{a_2-a_1}=\bruch{y-b_1}{b_2-b_1}[/mm]
Ich meinte so:
Falls [mm]a_{2}-a_{1} \not=0[/mm] löse [mm]x= ...[/mm] nach t auf.
Falls [mm]a_{2}-a_{1}=0[/mm] löse [mm]y=... [/mm] nach t auf.
Gruss
MathePower
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Genau das habe ich gemacht??
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Hallo Omikron123,
> Genau das habe ich gemacht??
Gut, so kannst Du das auch machen.
Bringe jetzt den erhaltenen Ausdruck auf die Form "... = 0".
Gruss
MathePower
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Wenn man [mm] \bruch{x-a_1}{a_2-a_1}=\bruch{y-b_1}{b_2-b_1} [/mm] auflöst, erhält man;
[mm] xb_2-xb_1-a_1b_2-ya_2+ya_1+a_2b_1=0, [/mm] also genau die Determinante.
Nun muss man noch eine Bedingung formulieren das drei Pkt der Ebene auf einer Gerade liegen. Sie müssen linear abhängig sein oder?
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Hallo Omikron123,
> Wenn man [mm]\bruch{x-a_1}{a_2-a_1}=\bruch{y-b_1}{b_2-b_1}[/mm]
> auflöst, erhält man;
>
> [mm]xb_2-xb_1-a_1b_2-ya_2+ya_1+a_2b_1=0,[/mm] also genau die
> Determinante.
>
> Nun muss man noch eine Bedingung formulieren das drei Pkt
> der Ebene auf einer Gerade liegen. Sie müssen linear
> abhängig sein oder?
Wenn 3 Punkte auf einer Geraden liegen sollen,
dann muss obige Gleichung erfüllt sein.
Gruss
MathePower
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