Gleichung der Punkte ermitteln < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:41 Do 06.10.2011 | | Autor: | Alex900 |
| Aufgabe | | Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte P1=(10;5;-1) und P2=(1;2;5) verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q Von [mm] \vec P1 \vec P2 [/mm] |
Die Lösung Lautet:
[mm] \vec r [/mm](P)= [mm] \vec r [/mm][mm] (\lambda)=[/mm] [mm] \vec r [/mm][mm] (P1)+\lambda[/mm] [mm]\vec P1\vec P2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
10-9\lambda \\5-3\lambda \\-1+6\lambda \end{pmatrix} [/mm]
Zum Punkt Q gehört Parameterwert [mm] \lambda [/mm] = 0,5:
[mm] \vec r [/mm](Q) = [mm] \vec r [/mm][mm] (\lambda=0,5) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
10-4,5 \\5-1,5 \\-1+3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
5,5 \\3,5 \\2 \end{pmatrix} [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] Q= (5,5;3,5;2)
Meine Frage:
-Wie kommt man auf den Wert von [mm] \lambda [/mm]
- Woher kommen die Werte; 9;3;6
Bitte erklärt mir das sehr ausführlich, ich habe da im Moment sehr große Schwierigkeiten, weil ich auf Grund von Erkrankung viel verpasst habe.
Vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte P1=(10;5;-1)
> und P2=(1;2;5) verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die
> Koordinaten der Mitte Q Von [mm]\vec P1 \vec P2[/mm]
> Die Lösung
> Lautet:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> [mm]\vec r [/mm](P)= [mm]\vec r[/mm][mm] (\lambda)=[/mm] [mm]\vec r[/mm][mm] (P1)+\lambda[/mm] [mm]\vec P1\vec P2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 10-9\lambda \\
5-3\lambda \\
-1+6\lambda \end{pmatrix}[/mm]
Für jedes [mm] \lambda, [/mm] welches Du hier einsetzt, erhältst Di einen Punkt der Geraden.
der Vektor [mm] \vektor{-9\\-3\\6} [/mm] ist der Verbindungsvektor von [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2, [/mm] der Vektor [mm] \overrightarrow{P_1P_2}. [/mm] Man errechnet ihn, indem man die Differenz der Ortsvektoren der beiden Punkte [mm] nimmt:\overrightarrow{P_1P_2}=\vec{r}(P_2)-\vec{r}(P_1).
[/mm]
> Zum Punkt Q gehört Parameterwert [mm]\lambda[/mm] = 0,5:
Welchen Punkt bekommst Du, wenn Du [mm] \lambda=0 [/mm] einsetzt?
Den Ortsvektor von [mm] P_1, [/mm] denn an den Ortsvektor [mm] \vec{r}(P_1) [/mm] von [mm] P_1 [/mm] wird der Nullvektor [mm] 0*\overrightarrow{P_1p_2} [/mm] angeheftet.
Welchen Punkt bekommst Du, wenn Du [mm] \lambda=1 [/mm] einsetzt?
Den Ortsvektor von [mm] P_2, [/mm] denn an den Ortsvektor [mm] \vec{r}(P_2) [/mm] von [mm] P_2 [/mm] wird der Vektor [mm] 1*\overrightarrow{P_1p_2}=\overrightarrow{P_1p_2} [/mm] angeheftet.
Beides kannst Du natürlich auch einfach nachrechnen.
Überlege Dir nun, daß Du zur Mitte von [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] kommst, wenn Du an den Ortsvektor von [mm] P_1 [/mm] den halben Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{P_1p_2} [/mm] anklebst.
Daher kommt [mm] \lambda=0.5.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> [mm]\vec r [/mm](Q) = [mm]\vec r[/mm][mm] (\lambda=0,5)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 10-4,5 \\
5-1,5 \\
-1+3 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 5,5 \\
3,5 \\
2 \end{pmatrix}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Q= (5,5;3,5;2)
>
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> Meine Frage:
> -Wie kommt man auf den Wert von [mm]\lambda[/mm]
> - Woher kommen die Werte; 9;3;6
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> Bitte erklärt mir das sehr ausführlich, ich habe da im
> Moment sehr große Schwierigkeiten, weil ich auf Grund von
> Erkrankung viel verpasst habe.
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> Vielen dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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