Gleichung einer Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 17.12.2004 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
ich stehe vor folgenden Aufgabe:
Bestimme eine Gleichung der Ebene durch [mm] A(2/3/4)[/mm] und [mm] B(6/5/16)[/mm], welche vom Ursprung den Abtand [mm]2[/mm] hat.
Als Hilfsmittel habe ich die Hessesche Normalform sowie Skalarprodukte.
Leider weiß ich nicht wie ich auf die Ebenengleichung kommen kann.
Eine solche Gleichung hat ja einen Orstvektor und 2 Spannvektoren.
Allerdings sind ja nur 2 Punkte gegeben.
Überlegt habe ich mir, dass der Abstand [mm]2[/mm] ja bedeutet, dass der Ortsvektor die Länge 2 haben muss.
Dies kann aber in 2 "Richtungen" der Fall sein. Einmal ein positiver und dann der negative Abstand, welcher aber durch den Betrag wieder positiv wird. Doch kann ich den Orstvektor ja nicht ohne weiteres bekommen.
Ich kann daraus nur entnehmen, dass dieser [mm] \wurzel{2^{2}}[/mm] bzw. [mm] \wurzel{(-2)^{2}}[/mm] ist.
Nun finde ich jedoch keinen passenden Ansatz wie ich weiterrechnen kann.
Wäre für einen Ansatz sehr dankbar.
snibbe
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Hallo.
Dadurch, daß Du ja schon zwei Punkte gegeben hast, kannst Du ja schon einen Spannvektor der Ebene bestimmen, z.B. (2,1,6) wäre ein solcher.
Wenn die Ebene nun vom Ursprung den Abstand 2 haben soll, dann muß ein Ortsvektor v=(x,y,z) eines Punktes C der Ebene senkrecht zu (2,1,6) sein und zudem muß |v|=2 sein. Dazu kommt noch, daß der Vektor a-v ein Spannvektor der Ebene sein muß, und damit ebenfalls senkrecht zu v steht, also insgesamt:
x²+y²+z²=2
(2,1,6)*(x,y,z)=0 => 2x+y+6z=0
((2,3,4)-(x,y,z))*(x,y,z)=0 => -x²-y²-z²+2x+3y+4z=0
Damit müßtest Du eigentlich auf ne vernünftige Lösung kommen.
Falls nicht, einfach nochmal nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:32 Sa 18.12.2004 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
erstmal danke für die schnelle Antwort.
Habe mich auch damit auseinander gesetzt. Allerdings komme ich irgendwie nicht auf eine korrekte Lösung.
Aus der 3. Gleichung habe ich
[mm]2x+3y+4z=2[/mm]
gemacht, da [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/mm] ist.
Dann habe ich diese und die 2. mit einem Gleichungssystem gelöst.
Sprich:
2x+3y+4z=2
2x+1y+6z=0
Dann habe ich von der Gleichung 1 die 2. abgezogen.
Kam dann auf 2y-2z=2 und habe dann für y 1 angenommen und somit kam für z 0 raus.
Diese beiden Werte habe ich in die 1. eingesetzt und bekam für x -1/2 heraus.
Das wäre ja dann der Vektor v, aber wenn ich a-v rechne erhalte ich für den Spannvektor (1,5/2/4). Die Länge dieses Vektors ist aber nicht 2. D.h. ich hab irgendwo was falsch gemacht.
Wäre dir dankbar wenn du mir den richtigen Lösungsweg geben könnntest bzw. meinen verbessern.
Ich habe auch noch eine Frage zu der 1. Gleichung.
Also [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/mm]
Muss das hier nicht [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=4[/mm] heissen bzw. [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=2[/mm]
Habe das zwar auch damit nochmal gerechnet, aber das Ergebnis was ich da erhalte stimmt ebenfalls nicht.
Danke im voraus
snibbe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 19.12.2004 | | Autor: | dominik |
Lösung, basierend auf der Koordinatendarstellung der Ebene. Du kannst zwei Ansätze machen:
1) Gleichung der Ebene: ax+by+cz+d=0
2) Hessesche Normalform für den Abstand q: [mm] q=\bruch{ax+by+cz+d}{\wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}= \pm2
[/mm]
Hinweis: [mm] \pm [/mm] 2, weil der Abstand auf zwei Seiten hin möglich ist. Dies gibt dann zwei Ebenegleichungen.
Nun werden in der Ebenengleichung nach einander die Koordinaten der beiden Punkte A(2/3/4) und B(6/5/16) eingesetzt (Gleichungen I,II). In der Hesseschen Normalform werden für x,y und z der Wert 0 (Koordinaten des Nullpunktes) eingesetzt; anschliessend wird die Gleichung mit der Wurzel erweitert (Gleichung III):
I 2a+3b+4c+d=0
II 6a+5b+16c+d=0
III [mm] \pm2 \wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-d=0
[/mm]
Wir haben drei Gleichungen und vier Unbekannte, werden also für eine Unbekannte eine günstige Grösse wählen müssen - egal welche, nur nicht Null.
Zuerst eliminieren wir d, das ist am einfachsten:
II-I IV 4a+2b+12c=0
I+III V [mm] \pm2 \wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+2a+3b+4c=0
[/mm]
Nun scheint der Augenblick günstig zu sein, für eine der drei verbleibenden Unbekannten irgend eine Zahl zu wählen. Vorschlag: b=2.
Damit sehen unsere Gleichungen IV und V folgendermassen aus:
IV 4a+4+12c=0 [mm] \gdw [/mm] a+1+3c=0 [mm] \gdw [/mm] a=-1-3c=-(1+3c)
[mm] \gdw a^{2}=1+6c+9c^{2}; [/mm] dieser Wert wird nachher in V eingesetzt.
V in V für b den Wert 2, a und a hoch zwei von oben einsetzen:
[mm] \pm2 \wurzel{1+6c+9c^{2}+4+c^{2}}-2-6c+6+4c=0 [/mm] / zusammenfassen, :2
[mm] \gdw \wurzel{10c^{2}+6c+5}-c+2=0
[/mm]
[mm] \gdw 10c^{2}+6c+5 [/mm] = [mm] (c-2)^{2} [/mm] = [mm] c^{2}-4c [/mm] +4
[mm] \gdw 9c^{2}+10c+1=0 \Rightarrow c_{1}=-1; c_{2}=-\bruch{1}{9}
[/mm]
Nun bestimmen wir für jeden c-Wert a und d:
c=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] a=2 und d=-6
Die erste Ebenengleichung lautet nun: 2x-2y-z-6=0
Abstand vom Nullpunkt: ¦-2¦
Analog für [mm] c_{2}:
[/mm]
[mm] c=-\bruch{1}{9} \Rightarrow a=-\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] d=-\bruch{38}{9}
[/mm]
Dies ergibt die zweite Ebenengleichung:
[mm] -\bruch{2}{3}x+2y-\bruch{1}{9}z-\bruch{38}{9}=0 [/mm] / mit -9 erweitern
6x-18y+z+38=0
Abstand zum Nullpunkt: 2
Viele Grüsse!
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