Gleichung einer Spiegelgeraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 25.10.2009 | | Autor: | Laly |
| Aufgabe | | Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimme eine Parametergleichung der Spiegelgeraden g'. g: (x/y/z)= (7/-2/4) + t*(2/0/1) E: 4x + 2y - z + 1 = 0 |
Ich versuche nun schon seit einer Stunde diese Aufgabe zu lösen, aber ich habe einfach keine Idee, wie ich weiterrechnen könnte. Ich habe jetzt den Schnittpunkt von g und E bestimmt, und dieser ist (1/-2/1). Ich nehme mal an, dass ich den Normalenvektor zur Lösung auch brauchen werde, und dieser ist ja (4/2/-1). Nun habe ich aber absolut keine Idee wie ich weiterrechnen soll um eine Spiegelgerade zu erhalten. Wahrscheinlich ist der Schnittpunkt ja einer der wichtigen Punkte, aber wie komme ich dann auf den 2.?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(das sollte jetzt schon hierhin, oder?)
MfG
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Hallo!
> Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimme eine
> Parametergleichung der Spiegelgeraden g'. g: (x/y/z)=
> (7/-2/4) + t*(2/0/1) E: 4x + 2y - z + 1 = 0
> Ich versuche nun schon seit einer Stunde diese Aufgabe zu
> lösen, aber ich habe einfach keine Idee, wie ich
> weiterrechnen könnte. Ich habe jetzt den Schnittpunkt von
> g und E bestimmt, und dieser ist (1/-2/1). Ich nehme mal
> an, dass ich den Normalenvektor zur Lösung auch brauchen
> werde, und dieser ist ja (4/2/-1).
Das hast du beides richtig berechnet ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Nun habe ich aber
> absolut keine Idee wie ich weiterrechnen soll um eine
> Spiegelgerade zu erhalten. Wahrscheinlich ist der
> Schnittpunkt ja einer der wichtigen Punkte, aber wie komme
> ich dann auf den 2.?
Eine ganz banale Möglichkeit: Such dir einfach einen zweiten Punkt X auf der Geraden (irgendeinen), und spiegle ihn an der Ebene. Dann kannst du aus den zwei Punkten wieder eine Gerade (die Spiegelgerade) bilden.
Wie spiegelst du einen Punkt an der Ebene: Fälle das Lot S des Punktes X auf die Ebene, d.h. finde den Punkt S der Ebene, der den kleinsten Abstand zu X hat.
Das kannst du zum Beispiel machen, indem du mit dem Normalenvektor der Ebene und X eine Gerade h bildest. Nun lässt du die Gerade h mit der Ebene schneiden, und erhältst das Lot S des Punktes X auf die Ebene.
Wenn du nun den Richtungsvektor OS-OX berechnest, also den Vektor, der von X zu S zeigt, und diesen Richtungsvektor dann nochmal auf S draufaddierst, hast du X an der Ebene gespiegelt.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 25.10.2009 | | Autor: | Laly |
Danke, das mit dem Spiegeln des Punktes habe ich verstanden.
Aber ich habe noch eine Frage - ich kann ja jetzt nicht irgendeinen beliebigen Punkt nehmen, oder? Woher weiss ich denn dann, dass der auf der Geraden liegt?
Und bei dieser Aufgabe wäre die Lösung jetzt schon (1/-2/1) + t*(-2/-4/5), also wäre der erste Punkt ja der Schnittpunkt. Aber bei der Aufgabe b ist der erste Punkt der Geraden nicht der berechnete Schnittpunkt, sondern etwas ganz anderes - wie kann das denn sein?
mfg
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Hallo!
> Danke, das mit dem Spiegeln des Punktes habe ich
> verstanden.
> Aber ich habe noch eine Frage - ich kann ja jetzt nicht
> irgendeinen beliebigen Punkt nehmen, oder? Woher weiss ich
> denn dann, dass der auf der Geraden liegt?
Du sollst ja einen Punkt X wählen, der auf der Geraden liegt. Dann können wir uns sicher sein, wenn wir ihn gespiegelt haben, dass er auch auf der Spiegelgeraden liegt.
> Und bei dieser Aufgabe wäre die Lösung jetzt schon
> (1/-2/1) + t*(-2/-4/5), also wäre der erste Punkt ja der
> Schnittpunkt.
Das macht ja nichts aus. Du hast die Spiegelgerade richtig berechnet.
> Aber bei der Aufgabe b ist der erste Punkt
> der Geraden nicht der berechnete Schnittpunkt, sondern
> etwas ganz anderes - wie kann das denn sein?
Das kann durchaus sein, deswegen werden aber nicht unbedingt zwei verschiedene Geraden beschrieben. Guck mal, die x-Achse im Raum kann ich doch auch durch
[mm] $\vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
beschreiben, aber genauso gut durch
[mm] $\vektor{5\\0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1\\0\\0}$.
[/mm]
(Überleg dir das!) D.h. der Ortsvektor einer Geraden kann durchaus verschiedene Werte haben, solange ich mit dem Richtungsvektor trotzdem zu den verschiedenen Ortsvektoren komme. Oben müsste ich zum Beispiel nur t = -5 wählen, und schon wäre ich wieder bei [mm] \vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Probiere bei dir aus, ob auch du mit dem Richtungsvektor zu dem anderen Ortsvektor der Geraden in der Lösung kommst!
Grüße,
Stefan
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