Gleichung in einem Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mi 26.11.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Zeige:
Im Ring [mm] \IZ[X] [/mm] gilt die gleichung [mm] (2)\cap(X)=(2X) [/mm] |
hallo zusammen ^^
als in der vorlesung [mm] (2)\cap(X) [/mm] erklärt wurde, war ich net da und hab im internet auch garnix dazu gefunden.
um die obige gleichung zu zeigen müssen ja die 2 inklusionen geprüft werden, oder?
nur hab ich kein plan, was man mit [mm] (2)\cap(X) [/mm] machen im sinne von rechnen und aussagen kann...
wär nett wenn mir das einer erklärt :)
gr
eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also für die Aufgabe solltest du dir klar machen, was die Ideale (2X) und [mm] (2)\cap(X) [/mm] bedeuten:
(2X) = [mm] \{f*(2X),f\in\IZ[X]\} [/mm] also die Menge der Polynome, die Produkt eines beliebigen Polynoms aus [mm] \IZ[X] [/mm] und dem Polynom 2X sind.
[mm] (2)\cap(X)=\{g\in\IZ[X], g\in(2) und g \in (X)\}
[/mm]
[mm] 1.(2X)\subseteq(2)\cap(X):
[/mm]
[mm] 2X\in(2)\cap(X), [/mm] da [mm] 2X\in(2) [/mm] und [mm] 2X\in(X)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f*(2X)\in(2)\cap(X) [/mm] für alle [mm] f\in\IZ[X] [/mm] (Eigenschaft von Idealen: Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Elementen aus dem Ring)
Fertig !
2. [mm] (2)\cap(X)\subseteq(2X):
[/mm]
Sei h [mm] \in (2)\cap(X),
[/mm]
d.h. es existieren i,j [mm] \in \IZ[X] [/mm] mit h=i*2 und h=j*X
[mm] \Rightarrow [/mm] 2|h und X|h
[mm] \Rightarrow [/mm] 2X|h , da ggT(2,X)=1
[mm] \Rightarrow \exists k\in \IZ[X] [/mm] mit h=k*(2X)
VG
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | eumel |
joo :)
mit so ner geilen antwort hab ich jetz echt nicht gerechnet ^^
danke auf jeeedenfall!!!
greetz
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