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| Aufgabe | Wie bestimme ich bei der folgenden Gleichung alle Lösungen?
[mm] x^4+4=0 [/mm] |
[mm] x_{1/2}=+-\wurzel[4]{4}i
[/mm]
wie bestimme ich die anderen zwei lösungen? Muss ich die polarkoordinaten anwenden? wie genau bestimme ich so alle lösungen?
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Hallo,
> Wie bestimme ich bei der folgenden Gleichung alle
> Lösungen?
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> [mm]x^4+4=0[/mm]
> [mm]x_{1/2}=+-\wurzel[4]{4}i[/mm]
>
Die sind leider beide falsch, wie bist du dennn da drauf gekommen bzw. hast du mal eine Probe gemacht?
Abgesehen davon ist (auch wenn das hier nichts zur Sache tut):
[mm] \wurzel[4]{4}=\wurzel{2} [/mm] ...
> wie bestimme ich die anderen zwei lösungen? Muss ich die
> polarkoordinaten anwenden? wie genau bestimme ich so alle
> lösungen?
Der klassische Weg ist die ![[]](/images/popup.gif) Formel von Moivre, für die man dann Polarkopordinaten bzw. die Eulersche Darstellung verwendet. Mit ein wenig Kenntnis der Gaußschen Ebene kann man die Aufgabe auch leicht mittels einer geometrischen Überlegung lösen.
Wenn du es völlig umständlich machen möchtest, kannst du auch
[mm] (x+iy)^4=-4
[/mm]
betarchten, die linke Seite ausmultiplizieren und versuchen, dass so entstehende nichtlineare Gleichungssystem in x und y zu lösen. Aber dieser Hinweis ist nicht wirklich ernst gemeint. 
Gruß, Diophant
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hallo,
[mm] x^4+4=0
[/mm]
[mm] x^4=-4
[/mm]
[mm] x^4=4e^{i\pi}
[/mm]
ziehe ich hier jetzt die wurzel?
[mm] x=+-\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}=+-\wurzel{2}(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
damit hätte ich aber nur zwei lösungen? wie bestimme ich die anderen zwei?
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Hallo,
hast du eigentlich keine Unterlagen? Mache dir mal klar, weshalb alle diese vier Wurzeln auf einem Kreis mit dem Radius [mm] r=\wurzel{2} [/mm] um die 0 liegen und zusammen ein Quadrat bilden. Wenn du dann immer noch nicht drauf kommst, wie man den Satz hier anwenden muss, dann schaue hier nach.
Das ist wieder so ein typischer Thread, wo versucht wird, die Arbeit am Verständnis auf das Rechnen von Aufgaben zu reduzieren und auch noch an ein Forum zu delegieren. Bitte fasse dies nicht als Vorwurf auf (so ist es nämlich nicht gemeint), sondern eher als Anregung.
Gruß, Diophant
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