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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Di 28.10.2008 | | Autor: | Jule_ |
Hallo,
wir hatten in der letzte Klausur Aufgabe:
Bestimme die Nullestelle der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2
[/mm]
Ich bin wie folgt vorgegangen
[mm] 0=e^l^n^{\bruch{1}{2}}*e^2^x-e^2
[/mm]
[mm] 0=ln\bruch{1}{2}+2x-2
[/mm]
Das Ergebnis stimmt aber damit dass ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als [mm] e^l^n^{\bruch{1}{2}} [/mm] dargestellt habe, war mein Lehrer nicht einverstanden. Warum?
[mm] 4^x [/mm] = [mm] e^x^*^l^n^4 [/mm] dann ist doch [mm] 4^1=e^l^n^4
[/mm]
d.h. ich kann jede Zahl mit der Basis e darstellen, oder nicht?
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Hi, Jule,
> Bestimme die Nullstelle der Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2[/mm]
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen
>
> [mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}}*e^2^x-e^2[/mm]
> [mm]0=ln\bruch{1}{2}+2x-2[/mm]
Und schon ist's falsch, denn MERKE:
Der Logarithmus einer Summe/Differenz ist nicht die Summe/Differenz der Logarithmen!
Du hättest einfach [mm] e^{2} [/mm] auf die andere Seite bringen müssen, anschließend mit 2 multiplizieren und dann logarithmieren:
...
[mm] e^{2x} [/mm] = [mm] 2*e^{2}
[/mm]
2x = [mm] ln(2*e^{2}) [/mm] = ln(2) + 2
x = 1 + 0,5*ln(2)
> Das Ergebnis stimmt aber damit dass ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als
> [mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}}[/mm] dargestellt habe, war mein Lehrer
> nicht einverstanden. Warum?
>
> [mm]4^x[/mm] = [mm]e^x^*^l^n^4[/mm] dann ist doch [mm]4^1=e^l^n^4[/mm]
>
> d.h. ich kann jede Zahl mit der Basis e darstellen, oder
> nicht?
Da liegt - wie oben erwähnt - ja auch Dein Fehler gar nicht!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 28.10.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hi, Jule,
>
> > Bestimme die Nullstelle der Funktion
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2[/mm]
> >
> > Ich bin wie folgt vorgegangen
> >
> > [mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}}*e^2^x-e^2[/mm]
> > [mm]0=ln\bruch{1}{2}+2x-2[/mm]
>
> Und schon ist's falsch, denn MERKE:
> Der Logarithmus einer Summe/Differenz ist nicht die
> Summe/Differenz der Logarithmen!
Okay, dass kann ich nachvollziehen
>
> Du hättest einfach [mm]e^{2}[/mm] auf die andere Seite bringen
> müssen, anschließend mit 2 multiplizieren und dann
> logarithmieren:
>
> ...
> [mm]e^{2x}[/mm] = [mm]2*e^{2}[/mm]
> 2x = [mm]ln(2*e^{2})[/mm] = ln(2) + 2
> x = 1 + 0,5*ln(2)
>
> > Das Ergebnis stimmt aber damit dass ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als
> > [mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}}[/mm] dargestellt habe, war mein Lehrer
> > nicht einverstanden. Warum?
> >
> > [mm]4^x[/mm] = [mm]e^x^*^l^n^4[/mm] dann ist doch [mm]4^1=e^l^n^4[/mm]
> >
> > d.h. ich kann jede Zahl mit der Basis e darstellen, oder
> > nicht?
>
> Da liegt - wie oben erwähnt - ja auch Dein Fehler gar
> nicht!
dh, [mm] 4^1 [/mm] kann ich nicht als [mm] e^l^n^4 [/mm] darstellen. Versteh ich nicht??
>
> mfG!
> Zwerglein
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Di 28.10.2008 | | Autor: | abakus |
> > Hi, Jule,
> >
> > > Bestimme die Nullstelle der Funktion
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2[/mm]
> > >
> > > Ich bin wie folgt vorgegangen
> > >
> > > [mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}}*e^2^x-e^2[/mm]
> > > [mm]0=ln\bruch{1}{2}+2x-2[/mm]
> >
> > Und schon ist's falsch, denn MERKE:
> > Der Logarithmus einer Summe/Differenz ist nicht die
> > Summe/Differenz der Logarithmen!
>
> Okay, dass kann ich nachvollziehen
> >
> > Du hättest einfach [mm]e^{2}[/mm] auf die andere Seite bringen
> > müssen, anschließend mit 2 multiplizieren und dann
> > logarithmieren:
> >
> > ...
> > [mm]e^{2x}[/mm] = [mm]2*e^{2}[/mm]
> > 2x = [mm]ln(2*e^{2})[/mm] = ln(2) + 2
> > x = 1 + 0,5*ln(2)
> >
> > > Das Ergebnis stimmt aber damit dass ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als
> > > [mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}}[/mm] dargestellt habe, war mein Lehrer
> > > nicht einverstanden. Warum?
> > >
> > > [mm]4^x[/mm] = [mm]e^x^*^l^n^4[/mm] dann ist doch [mm]4^1=e^l^n^4[/mm]
> > >
> > > d.h. ich kann jede Zahl mit der Basis e darstellen, oder
> > > nicht?
> >
> > Da liegt - wie oben erwähnt - ja auch Dein Fehler gar
> > nicht!
>
> dh, [mm]4^1[/mm] kann ich nicht als [mm]e^l^n^4[/mm] darstellen. Versteh ich
> nicht??
Natürlich ginge das. Aber dein Fehler lag doch woanders!
Du hättest es auch so lösen können:
[mm]0=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2[/mm]
Jetzt [mm] e^2 [/mm] ausklammern:
[mm] 0=e^2(\bruch{1}{2}e^{2x-2}-1)
[/mm]
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Da [mm] e^2 [/mm] nicht Null ist, muss
[mm] \bruch{1}{2}e^{2x-2}-1=0 [/mm] gelten.
Daraus folgt
[mm] \bruch{1}{2}e^{2x-2}=1
[/mm]
[mm] e^{2x-2}=2
[/mm]
2x-2=ln 2
[mm] x=\bruch{2+ln2}{2}
[/mm]
Gruß Abakus
> >
> > mfG!
> > Zwerglein
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 28.10.2008 | | Autor: | Jule_ |
> > > Hi, Jule,
> > >
> > > > Bestimme die Nullstelle der Funktion
> > > >
> > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2[/mm]
> > > >
> > > > Ich bin wie folgt vorgegangen
> > > >
> > > > [mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}}*e^2^x-e^2[/mm]
> > > > [mm]0=ln\bruch{1}{2}+2x-2[/mm]
> > >
> > > Und schon ist's falsch, denn MERKE:
> > > Der Logarithmus einer Summe/Differenz ist nicht die
> > > Summe/Differenz der Logarithmen!
> >
> > Okay, dass kann ich nachvollziehen
> > >
> > > Du hättest einfach [mm]e^{2}[/mm] auf die andere Seite bringen
> > > müssen, anschließend mit 2 multiplizieren und dann
> > > logarithmieren:
> > >
> > > ...
> > > [mm]e^{2x}[/mm] = [mm]2*e^{2}[/mm]
> > > 2x = [mm]ln(2*e^{2})[/mm] = ln(2) + 2
> > > x = 1 + 0,5*ln(2)
> > >
> > > > Das Ergebnis stimmt aber damit dass ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als
> > > > [mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}}[/mm] dargestellt habe, war mein Lehrer
> > > > nicht einverstanden. Warum?
> > > >
> > > > [mm]4^x[/mm] = [mm]e^x^*^l^n^4[/mm] dann ist doch [mm]4^1=e^l^n^4[/mm]
> > > >
> > > > d.h. ich kann jede Zahl mit der Basis e darstellen, oder
> > > > nicht?
> > >
> > > Da liegt - wie oben erwähnt - ja auch Dein Fehler gar
> > > nicht!
> >
> > dh, [mm]4^1[/mm] kann ich nicht als [mm]e^l^n^4[/mm] darstellen. Versteh ich
> > nicht??
>
> Natürlich ginge das. Aber dein Fehler lag doch woanders!
>
> Du hättest es auch so lösen können:
> [mm]0=\bruch{1}{2}e^2^x-e^2[/mm]
> Jetzt [mm]e^2[/mm] ausklammern:
> [mm]0=e^2(\bruch{1}{2}e^{2x-2}-1)[/mm]
> Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
> Da [mm]e^2[/mm] nicht Null ist, muss
>
> [mm]\bruch{1}{2}e^{2x-2}-1=0[/mm] gelten.
> Daraus folgt
> [mm]\bruch{1}{2}e^{2x-2}=1[/mm]
> [mm]e^{2x-2}=2[/mm]
> 2x-2=ln 2
> [mm]x=\bruch{2+ln2}{2}[/mm]
>
> Gruß Abakus
> > >
> > > mfG!
> > > Zwerglein
> > >
> >
>
...ich bin verwirrt! Sorry.
Nichts annderes habe ich doch gemacht.
- ich habe [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als [mm] e^l^n^{\bruch{1}{2}} [/mm] dargestellt
- Dann Potenzregel angewandt
[mm] 0=e^l^n^{\bruch{1}{2}} ^+^2^x -e^2
[/mm]
- und da alle die selbe basis e haben, e weggelassen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Di 28.10.2008 | | Autor: | chrisno |
Hallo Jule,
> ...ich bin verwirrt! Sorry.
zu Recht.
> Nichts annderes habe ich doch gemacht.
>
> - ich habe [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als [mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> dargestellt
> - Dann Potenzregel angewandt
>
> [mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}} ^+^2^x -e^2[/mm]
>
> - und da alle die selbe basis e haben, e weggelassen
Diese Argumentation ist etwas flott, aber in diesem Fall richtig. Das Problem ist nur, dass Du das etwas knapp aufgeschrieben hast. Ich finde das aber in Ordnung so. Schreibe es etwas ausführlicher auf und gib es Deinem Lehrer:
[mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}} ^+^2^x -e^2[/mm]
[mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}} ^+^2^x = e^2[/mm]
[mm]ln{\bruch{1}{2}} + 2^x = 2[/mm]
[mm]0=ln{\bruch{1}{2}} + 2^x - 2[/mm]
Ich denke, Du solltest Dir die fehlenden Punkte abholen. Bitte melde ob Du sie bekommen hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Di 28.10.2008 | | Autor: | Jule_ |
Hey Danke!!
ich habe schon an mir gezweifelt.
Für mich war's klar und ich dachte eigentlich auch mein Lehrer versteht es.
Ich werde gleich nach den Ferien nachfragen!!
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Hi, Jule,
> ...ich bin verwirrt! Sorry.
> Nichts annderes habe ich doch gemacht.
>
> - ich habe [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als [mm]e^l^n^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> dargestellt
> - Dann Potenzregel angewandt
>
> [mm]0=e^l^n^{\bruch{1}{2}} ^+^2^x -e^2[/mm]
>
> - und da alle die selbe basis e haben, e weggelassen
Und genau das geht nicht!
Eine Regel der Art
[mm] ln(e^{a} [/mm] + [mm] e^{b}) [/mm] = [mm] ln(e^{a}) [/mm] + [mm] ln(e^{b}) [/mm] = a + b
GIBT ES NICHT!
Dass bei Deinem falschen Lösungsweg am Ende doch das Richtige rauskommt, ist reiner Zufall und kann daher NICHT als richtiger Lösungsweg bewertet werden.
Setz' einfach mal "spaßeshalber" ein "+" statt des "-" oben ein; dann hast Du:
[mm] 0=e^l^n^{\bruch{1}{2}} ^+^2^x \red{+}e^2
[/mm]
Diese Gleichung ist offensichtlich unlösbar, da rechts nur positive Zahlen stehen;
nach Deiner "Methode" aber käme raus:
ln(1/2) + 2x + 2 = 0,
woraus Du x = -1 - 1/2*ln(1/2)
errechnen würdest: FALSCH!!
Nachtrag:
Deine Umformung [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] e^{ln(\bruch{1}{2}} [/mm] ist NATÜRLICH RICHTIG!
Falsch ist es, "neue Logarithmengesetze" für Differenzen und Summen einzuführen!
mfG!
Zwerglein
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