Gleichung lösen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | b)Ihr Angespartes beträgt am 1.1.2037 500.000€. Gesetzt den Fall, sie heben ab dem 1.1.2037 zu Beginn eines jeden Jahres von dem Angesparten 48.000€ ab. Wann können sie zum letzten Mal den vollen Betrag abheben? Wie groß ist danach die verbleibende Summe auf dem Konto? Zinssatz liegt bei 8% p.a. bei jährlichem Zinszuschlag am 31.12. |
Hallo, ich habe bei dieser Finanzmathe Aufgabe das Problem die Gleichung nach n(=Jahre) aufzulösen. Hier mein Lösungsweg:
1.1.37 := t=0 q:=(1+0,08)
[0|500.000] = [mm] \summe_{k=0}^{n}[k|48.000]
[/mm]
[mm] [n|500.000\*q^{n}]=[n|48.000\*s_{n+1}(q)]
[/mm]
[mm] [n|500.000\*q^{n}]=[n|48.000\*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}]
[/mm]
[mm] 500.000\*q^{n}=48.000*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] |:500.000
[mm] q^{n}= \bruch{48}{500}*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] | [mm] \*(q-1)
[/mm]
[mm] q^{n}\*(q-1)= \bruch{48}{500}\*(q^{n+1}-1)
[/mm]
[mm] 1,08^{n}\*(0,08)= \bruch{48}{500}\*(1,08^{n+1}-1) [/mm] | ln
Hier wende ich nun den ln an
[mm] n\*ln(1,08)+ln(0,08)=ln(\bruch{48}{500})+(n+1)\*ln(0,08)
[/mm]
Wenn ich nun weiter versuche nach n aufzulösen bekomme ich nur unmögliche Ergebnisse raus. Irgendwas hab ich vorher falsch gemacht oder bei der Anwendung des ln.
Vielen Dank im Voraus
Gruß Tobi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 27.01.2011 | | Autor: | abakus |
> b)Ihr Angespartes beträgt am 1.1.2037 500.000€. Gesetzt
> den Fall, sie heben ab dem 1.1.2037 zu Beginn eines jeden
> Jahres von dem Angesparten 48.000€ ab. Wann können sie
> zum letzten Mal den vollen Betrag abheben? Wie groß ist
> danach die verbleibende Summe auf dem Konto? Zinssatz liegt
> bei 8% p.a. bei jährlichem Zinszuschlag am 31.12.
> Hallo, ich habe bei dieser Finanzmathe Aufgabe das Problem
> die Gleichung nach n(=Jahre) aufzulösen. Hier mein
> Lösungsweg:
>
> 1.1.37 := t=0 q:=(1+0,08)
>
> [0|500.000] = [mm]\summe_{k=0}^{n}[k|48.000][/mm]
>
> [mm][n|500.000\*q^{n}]=[n|48.000\*s_{n+1}(q)][/mm]
>
> [mm][n|500.000\*q^{n}]=[n|48.000\*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}][/mm]
>
> [mm]500.000\*q^{n}=48.000*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
> |:500.000
>
> [mm]q^{n}= \bruch{48}{500}*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] |
> [mm]\*(q-1)[/mm]
>
> [mm]q^{n}\*(q-1)= \bruch{48}{500}\*(q^{n+1}-1)[/mm]
>
> [mm]1,08^{n}\*(0,08)= \bruch{48}{500}\*(1,08^{n+1}-1)[/mm] |
> ln
>
> Hier wende ich nun den ln an
>
> [mm]n\*ln(1,08)+ln(0,08)=ln(\bruch{48}{500})+(n+1)\*ln(0,08)[/mm]
>
> Wenn ich nun weiter versuche nach n aufzulösen bekomme ich
> nur unmögliche Ergebnisse raus. Irgendwas hab ich vorher
> falsch gemacht oder bei der Anwendung des ln.
Gut vermutet.
[mm] (1,08^{n+1}-1)\ne [/mm] (n+1)*ln(1,08)
Es gibt keine Rechenregel für den ln einer Differenz.
Aus [mm]q^{n}\*(q-1)= \bruch{48}{500}\*(q^{n+1}-1)[/mm]
folgt durch Ausmultiplizieren
[mm]q^{n+1}-q^{n}= \bruch{48}{500}\*q^{n+1}-\bruch{48}{500}[/mm]
[mm]\bruch{52}{500}q^{n+1}-q^{n}+\bruch{48}{500}=0[/mm]
[mm]q^{n+1}-\bruch{500}{52}q^{n}+\bruch{48}{52}=0[/mm]
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Gruß Tobi
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 27.01.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo Schwenker,
> b)Ihr Angespartes beträgt am 1.1.2037 500.000€. Gesetzt
> den Fall, sie heben ab dem 1.1.2037 zu Beginn eines jeden
> Jahres von dem Angesparten 48.000€ ab. Wann können sie
> zum letzten Mal den vollen Betrag abheben?
Nach 19 Jahren.
> Wie groß ist
> danach die verbleibende Summe auf dem Konto? Zinssatz liegt
> bei 8% p.a. bei jährlichem Zinszuschlag am 31.12.
> Hallo, ich habe bei dieser Finanzmathe Aufgabe das Problem
> die Gleichung nach n(=Jahre) aufzulösen.
Rechne mit diesem Ansatz:
[mm] 500.000*1,08^n [/mm] - [mm] 48.000*1,08*\bruch{1,08^n -1}{0,08} [/mm] = 0
[mm] 500.000*1,08^n [/mm] - [mm] 648.000*(1,08^n [/mm] - 1) = 0
[mm] 500.000*1,08^n [/mm] - [mm] 648.000*1,08^n [/mm] = -648.000
[mm] 1,08^n [/mm] *(-148.000) = - 648.000
[mm] 1,08^n [/mm] = 4,378378378
n = 19,18735
Viele Grüße
Josef
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Vielen Dank abakus und Josef für eure schnelle Hilfe.
Ich versuchs mal wieder von vorne:
[mm] 500.000\*1,08^n [/mm] = [mm] 48.000\*\bruch{1,08^{n+1} -1}{0,08} [/mm] |:48.000
[mm] =\bruch{500}{48}\*1,08^n [/mm] = [mm] \bruch{1,08^{n+1} -1}{0,08} |\*(0,08)
[/mm]
[mm] =\bruch{500}{48}\*1,08^n\*0,08 [/mm] = [mm] $1,08^{n+1} [/mm] -1$
Mein weiterer Schritt wäre [mm] |:(1,08)^{n} [/mm] Wenn das -1 auf der rechten Seite nicht stehen würde, dann hätte ich auf der rechten Seite nur noch [mm] (1,08)^{n} [/mm] stehen und könnte den ln anwenden und nach n auflösen...
[mm] =\bruch{500}{48}\*0,08 [/mm] = [mm] 1,08^{n} [/mm] |ln
[mm] =\bruch{ln(\bruch{500}{48}\*0,08)}{ln(q)} [/mm] =$n$
Aber hier stört mich nun auf der rechten Seite das -1.... da steht dann
[mm] =\bruch{500}{48}\*0,08 [/mm] = [mm] 1,08^{n}- \bruch{1}{1,08^{n}}
[/mm]
da komm ich nicht weiter :(
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Hallo schwenker,
> Vielen Dank abakus und Josef für eure schnelle Hilfe.
>
> Ich versuchs mal wieder von vorne:
>
> [mm]500.000\*1,08^n[/mm] = [mm]48.000\*\bruch{1,08^{n+1} -1}{0,08}[/mm]
> |:48.000
>
> [mm]=\bruch{500}{48}\*1,08^n[/mm] = [mm]\bruch{1,08^{n+1} -1}{0,08} |\*(0,08)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{500}{48}\*1,08^n\*0,08[/mm] = [mm]1,08^{n+1} -1[/mm]
>
> Mein weiterer Schritt wäre [mm]|:(1,08)^{n}[/mm] Wenn das -1 auf
> der rechten Seite nicht stehen würde, dann hätte ich auf
> der rechten Seite nur noch [mm](1,08)^{n}[/mm] stehen und könnte
> den ln anwenden und nach n auflösen...
>
> [mm]=\bruch{500}{48}\*0,08[/mm] = [mm]1,08^{n}[/mm] |ln
> [mm]=\bruch{ln(\bruch{500}{48}\*0,08)}{ln(q)}[/mm] =[mm]n[/mm]
>
> Aber hier stört mich nun auf der rechten Seite das -1....
> da steht dann
>
>
> [mm]=\bruch{500}{48}\*0,08[/mm] = [mm]1,08^{n}- \bruch{1}{1,08^{n}}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]=\bruch{500}{48}\*0,08[/mm] = [mm]1,08^{\red{1}}- \bruch{1}{1,08^{n}}[/mm]
>
> da komm ich nicht weiter :(
>
Gruss
MathePower
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Hallo mathepower, danke für deine Hilfe ich denke jetzt hab ichs raus... blöder Fehler meinerseits...
$ [mm] =\bruch{500}{48}*0,08 [/mm] $ = $ 1,08- [mm] \bruch{1}{1,08^{n}} [/mm] $
= [mm] \bruch{500}{48}*0,08 [/mm] $- 1,08$ = - [mm] \bruch{1}{1,08^{n}}
[/mm]
= $0,246666667$ = [mm] \bruch{1}{1,08^{n}}
[/mm]
= [mm] 1,08^{n}\*0,246666667 [/mm] = 1
= [mm] 1,08^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0,24666667} [/mm] |ln
= n = [mm] \bruch{ln(\bruch{1}{0,24666667})}{ln(1,08)}
[/mm]
= n = 18,1874
müsste stimmen, aber warum unterscheidet sich mein Ergebnis um +1 von Josefs Ergebnis?
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Hallo schwenker,
> Hallo mathepower, danke für deine Hilfe ich denke jetzt
> hab ichs raus... blöder Fehler meinerseits...
>
> [mm]=\bruch{500}{48}*0,08[/mm] = [mm]1,08- \bruch{1}{1,08^{n}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{500}{48}*0,08[/mm] [mm]- 1,08[/mm] = - [mm]\bruch{1}{1,08^{n}}[/mm]
>
> = [mm]0,246666667[/mm] = [mm]\bruch{1}{1,08^{n}}[/mm]
>
> = [mm]1,08^{n}\*0,246666667[/mm] = 1
>
> = [mm]1,08^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0,24666667}[/mm] |ln
>
> = n = [mm]\bruch{ln(\bruch{1}{0,24666667})}{ln(1,08)}[/mm]
>
> = n = 18,1874
>
> müsste stimmen, aber warum unterscheidet sich mein
> Ergebnis um +1 von Josefs Ergebnis?
>
Statt mit dem von Josef vorgegebenem Ansatz
[mm]500.000*1,08^n = 48.000*\blue{1,08}\bruch{1,08^{\blue{n}} -1}{0,08}[/mm]
hast Du mit dem Ansatz
[mm]500.000*1,08^n = 48.000*\bruch{1,08^{\blue{n+1}} -1}{0,08} [/mm]
gerechnet.
Gruss
MathePower
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