Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Sa 27.10.2012 | | Autor: | SHARK93 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
[b]Aufgabenstellung:[b]
Lösen Sie folgende Gleichungen, (i) wenn nur reelle Zahlen als Lösung möglich sind und (ii) allgemein für komplexe Zahlen:
a) [mm] \left| z \right|^{2}=4
[/mm]
b) [mm] z^{2}=4
[/mm]
c) [mm] z^{3}=-8
[/mm]
Moin,
ich hab Probleme beim zweiten Teil der Aufgabenstellung, also der Lösung wenn [mm] z\in\IC. [/mm] Ich weiß dann einfach nicht, wie ich die Zahl 4 bei Aufgabe a und b bzw. die Zahl -8 bei Aufgabe c interpretieren soll.
Also mein bisheriger, unvollständiger Lösungsvorschlag:
Aufgabe a(i):
[mm] \left| z \right|^{2}=4 [/mm] ; [mm] z\in\IR
[/mm]
[mm] \left| z \right|=2
[/mm]
[mm] z=\pm [/mm] 2
Aufgabe a(ii):
z=a+b*i ; [mm] z\in\IC [/mm] ; a=Re(a+bi) ; b=Im(a+bi)
[mm] \left| z \right|=\left| a+bi \right|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
[mm] \left| z \right|^{2}=\left| a+bi \right|^{2}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
Ist jetzt [mm] a^{2}+b^{2}=4?
[/mm]
Viele Grüße
SHARK
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo shark93,
wandele die Datei in eine JPEG-Datei um, dann ist sie anschaubar hier im System und die Urheberrechtsprüfung kann durchgeführt werden.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Am besten tippst Du die Aufgabe einfach ab.
Das ist nämlich am bequemsten für alle außer Dich.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo SHARK,
> Aufgabe a(i):
>
> [mm]\left| z \right|^{2}=4[/mm] ; [mm]z\in\IR[/mm]
>
> [mm]\left| z \right|=2[/mm]
> [mm]z=\pm[/mm] 2
Das passt.
> Aufgabe a(ii):
> z=a+b*i ; [mm]z\in\IC[/mm] ; a=Re(a+bi) ; b=Im(a+bi)
>
> [mm]\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm]
>
> [mm]\left| z \right|^{2}=\left| a+bi \right|^{2}=a^{2}+b^{2}[/mm]
>
> Ist jetzt [mm]a^{2}+b^{2}=4?[/mm]
Das ist richtig, wenn auch ein wenig "unhandlich". Es gibt nämlich unendlich viele Möglichkeiten für a und b, so dass [mm]a^2+b^2=4[/mm] ist. Man kann zwar argumentieren, dass aus [mm] $a^2+b^2=2^2$ [/mm] folgt, dass alle $(a;b)$ (und damit die gesuchten $z=a+bi$) auf einem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung liegen. Wie kann man diese Zahlen elegant beschreiben?
Alternativ: Versuche mal den Ansatz [mm]z=r\cdot e^{i\varphi}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Sa 27.10.2012 | | Autor: | SHARK93 |
Hallo Fulla,
erstmal vielen, vielen Dank für deine Antwort!
Ich musste erstmal über deine Antwort grübeln, da mir der Zusammenhang zwischen [mm] a^{2}+b^{2}=4 [/mm] und dem Kreis mit Radius 2 nicht klar war. Ich hoffe ich hab das richtig verstanden und versuch das mal kurz wiederzugeben: Aus [mm] a^{2}+b^{2}=4 [/mm] folgt ja, dass [mm] a,b\le2
[/mm]
Wenn ich mir das nun geometrisch vorstellen möchte, im zweidimensionalen Raum, mit einer a und einer b Achse, weiß ich ja nun, dass alle möglichen Kombinationen von a und b auf einem Kreis mit dem Radius 2 (da [mm] a,b\le2) [/mm] liegen (wobei der Ursprung der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung der beiden Koordinatenachsen liegt).
Bis hierhin korrekt?
Ich versteh bisher aber nicht, wie mir das helfen kann, bzw. wie genau du mir helfen möchtest, geht es dir um eine elegantere Schreibweise, oder kann ich a und b noch genauer eingrenzen?
Deinen Alternativansatz versteh ich leider auch nicht, wie kommst du auf das [mm] e^{i\varphi}?
[/mm]
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei einer Kleiner-Gleich-Beziehung sind damit sogar alle Punkte Lösungen, die innerhalb des Kreises mit einem Radius von 2 liegen, nicht nur die Punkte auf dem Kreis. Den Ansatz von Fulla über eine Betrachtung im Komplexen kannst Du nur verstehen, wenn ihr schon mit komplexen Zahlen gearbeitet habt. Falls dies nicht der Fall ist, bleibe bei Deiner ersten Betrachtungsmethodik.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 28.10.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück,
> Hallo Fulla,
>
> erstmal vielen, vielen Dank für deine Antwort!
>
> Ich musste erstmal über deine Antwort grübeln, da mir der
> Zusammenhang zwischen [mm]a^{2}+b^{2}=4[/mm] und dem Kreis mit
> Radius 2 nicht klar war. Ich hoffe ich hab das richtig
> verstanden und versuch das mal kurz wiederzugeben: Aus
> [mm]a^{2}+b^{2}=4[/mm] folgt ja, dass [mm]a,b\le2[/mm]
Besser: [mm]|a|,|b|\le 2[/mm]
> Wenn ich mir das nun geometrisch vorstellen möchte, im
> zweidimensionalen Raum, mit einer a und einer b Achse,
> weiß ich ja nun, dass alle möglichen Kombinationen von a
> und b auf einem Kreis mit dem Radius 2 (da [mm]a,b\le2)[/mm] liegen
> (wobei der Ursprung der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung
> der beiden Koordinatenachsen liegt).
>
> Bis hierhin korrekt?
>
> Ich versteh bisher aber nicht, wie mir das helfen kann,
> bzw. wie genau du mir helfen möchtest, geht es dir um eine
> elegantere Schreibweise, oder kann ich a und b noch genauer
> eingrenzen?
Genauer als durch [mm]a^2+b^2=4[/mm], kannst du a und b nicht. Du kannst die Gleichung höchstens nach einer Variablen auflösen, etwa [mm]b=\pm\sqrt{4-a^2}[/mm]. So findest du zu einem [mm]a\in[-2;2][/mm] die zugehörigen b.
> Deinen Alternativansatz versteh ich leider auch nicht, wie
> kommst du auf das [mm]e^{i\varphi}?[/mm]
Eine komplexe Zahl kannst du auf verschiedene Arten schreiben. Eine Möglichkeit ist die Schreibweise mit Real- und Imaginärteil - anschaulich sind das die x- und y-Koordinaten eines Punktes in der Ebene.
Eine andere Möglichkeit ist die Polarform, bei der man den Abstand vom Ursprung und den Winkel zur positiven reellen Achse benötigt. r ist dabei der Abstand und [mm]\varphi[/mm] der Winkel. (Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier)
Das Tolle an dieser Darstellung ist, dass du sehr leicht einen Kreis beschreiben kannst: [mm]z=2\cdot e^{i\varphi}[/mm]
Das sind alle Zahlen (in Abhängigkeit von [mm]\varphi[/mm]), die vom Ursprung den Abstand 2 haben.
Aber wenn dir diese Darstellung (noch) fremd ist, würde ich als Antwort zu Aufgabe (a)(i) schreiben:
[mm]L=\{z:=a+ib\ |\ a\in[-2;2]; b=\pm\sqrt{4-a^2}\}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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